Reichel Mathematik 7, Schulbuch

171 4 CD Tangenten der gesuchten Hüll- kurven sind, liegen die zugehörigen Berührpunkte ( = Punkte der Hüll- kurven) S und T auf den jeweiligen (hier zusammenfallenden) Norma- len n S und n T durch M . Für den Punkt S (x 1 y) erhält man un- ter Verwendung des Parameters ε ( 0° ª ε ª 90° ) durch mehrfache An- wendung der Definitionen von Sinus und Cosinus – Erøäutere! ___ BM = ø·cos ε __ BS = ___ BM·cos ε = ø·cos 2 ε x = __ BS·cos ε = ø·cos 3 ε ___ AM = ø·sin ε __ AS = ___ AM·sin ε = ø·sin 2 ε y = __ AS·sin ε = ø·sin 3 ε in unserem Fall also x = 2,25·cos 3 ε y = 2,25·sin 3 ε mit ε * [0; 90°] Das ist gleichzeitig die Parameterdarstellung der Hüllkurve der Strecke AB . Diese Kurve ist eine so ge- nannte Astroide (genauer: das rechte obere Viertel dieser zur x- und y-Achse symmetrischen Kurve). Die gesuchte Hüllkurve der Strecke CD ist eine Parallelkurve zur Astroide. Für jeden Punkt T (x 1 y) dieser Kurve gilt daher (grünes Dreieck in Fig. 3) x = ø·cos 3 ε + b·sin ε = 2,25·cos 3 ε + 0,75·sin ε y = ø·sin 3 ε + b·cos ε = 2,25·sin 3 ε + 0,75·cos ε Soll der Kasten das Mauereck bei P (1,73 1 1,00) ohne Schaden für Mauer und Kasten passieren können, so muss der Punkt T (x T 1 1,00) der Hüllkurve links vom Punkt P liegen. Erøäutere! Wie die Rechnung lehrt, ist das (sehr knapp, aber doch) der Fall. Fig. 4 Die Aufgabe lässt sich nicht nur wie oben über „Kurvendiskussionen“ lösen, sondern auch als „Ex- tremwertaufgabe“. Dazu gehen wir vom Extremfall aus, dass die Hüllkurve der Strecke CD durch den Punkt P hindurchgeht . ø 1 _ b = tan ε w ø 1 = b·tan ε v ___ ø 1 + ø 2 = cos ε w ø 2 = v ___ cos ε – ø 1 = v ___ cos ε – b·tan ε ø 4 _ b = cot ε w ø 4 = b·cot ε g ___ ø 3 + ø 4 = sin ε w ø 3 = g ___ sin ε – ø 4 = g ___ sin ε – b·cot ε Die längste Strecke ø max , mit der man gerade noch um die Ecke herum kommt, erhält man dort, wo L( ε ) = ø 1 + ø + ø 4 = ø 1 + ø 2 + ø 3 + ø 4 sein Minimum an- nimmt. Erøäutere! Setzt man aus den obigen Nebenbedingungen für ø 1 , ø 2 , ø 3 und ø 4 ein ( b , v und g sind Formvariablen, ε ist die unabhängige Variable), so erhält man (für ε ≠ 0° und ε ≠ 90° ) L( ε ) = v ___ cos ε + g ___ sin ε L’( ε ) = v·sin ε ____ cos 2 ε – g·cos ε _____ sin 2 ε 0 = v·sin 3 ε – g·cos 3 ε tan ε max = 3 9 __ g _ v Im vorliegenden Fall ist g = 1,00 , v = 1,73 , also ist ε max ≈ 40° . Die maximale Länge ø max = ø 2 + ø 3 des Kas- tens hängt aber noch von dessen Breite b ab: ø max (b) = v _____ cos ε max + g ____ sin ε max – b·(tan ε max + cot ε max ) Für b = 0,75 m erhält man ø max = 2,29 m , also knapp mehr als die vorgegebene Kastenlänge ø = 2,25 m . Onkel Walter hat seine Hinterlassenschaft mit (ma- thematischem) Weitblick geregelt! Du siehst: Schon einfache Alltagsprobleme be- dürfen zu ihrer (exakten) Lösung oft der höheren Mathematik. F 2 F 4 F 5 Fig. 3 M ô ô ô B C D A n A n B n =n S T ø S b T Fig. 5 b B C D A 3 4 2 1 P v g ø ô ô ø ø ø ø Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv