Reichel Mathematik 7, Schulbuch

170 Exkurs 4 Im vorliegenden Fall hat der (im Wesentlichen) quaderförmige Kasten die folgenden Abmessun- gen: Breite ( = Kastentiefe) b = 0,75 m , Länge ( = Kastenbreite) ø = 2,25 m , Höhe h = 1,95 m . Die Wohnung besitzt eine Raumhöhe von 2,65 m . Die Türen sind 2,00 m hoch und 0,80 m breit. Fig. 1: Wohnungsplan (Grundriss 1  100) Durch die Eingangstür geht der Kasten also. Aber kommen wir mit dem 2,25 m langen Kasten aus dem v = 1,73 m breiten Vorraum um die Ecke in den nur g = 1,00 m breiten Gang? (Ein „Aufkippen“ ist nicht möglich. Begründe! ) Zur Beantwortung könnten wir – wie in der Praxis üblich – eine rechteckige Pappendeckelschablone ABCD des Kastenbodens in Originalgröße (bzw. in passendem Maßstab) ausschneiden und diese vor Ort (bzw. auf dem Wohnungsplan) herumrücken. Die Kastenhöhe spielt ja dabei keine Rolle. „Optimales Ums-Eck-Schieben“ des Kastens vom Vorraum in den Gang erscheint im Grundriss als eine Bewegung des Rechtecks ABCD ( = Gangsys- tem) gegenüber dem Fußboden ( = Rastsystem), welche durch das Gleiten der Endpunkte A und B der Strecke AB an zwei Fußbodenkanten zwangs- geführt wird . Die Strecke CD hüllt dabei eine Kurve ein, die offensichtlich die Mauerecke bei P nicht schneiden darf. Erøäutere! Fig. 2 Zwecks rechnerischer Überprüfung der Existenz eines Schnittpunktes wollen wir eine Parameter- darstellung dieser Kurve und (als deren „Vorstufe“) der von der Strecke AB eingehüllten Kurve herlei- ten. Als Bezugssystem dient das in Fig. 2 einge- zeichnete kartesische Koordinatensystem. Dabei bedienen wir uns eines plausiblen, nichtsdestowe- niger zentralen Satzes der Kinematik ( = Lehre von der Geometrie von Bewegungen), der wie folgt auf die Differentialrechnung Bezug nimmt: „Die momentane Bewegung jedes Punktes des Gangsystems ist eine (infinitesimale) Drehung um den so genannten Momentanpol M .“ Mit anderen Worten: „Die Kurvennormalen aller Bahnkurven aller Punk- te des Gangsystems schneiden einander in jedem Moment jeweils in einem einzigen Punkt M .“ Im vorliegenden Fall bewegen sich A und B längs der Koordinatenachsen . Die Kurvennormale n A geht daher stets durch A und steht zur x-Achse normal, die Kurvennormale n B geht stets durch B und steht zur y-Achse normal. Ihr Schnittpunkt lie- fert den gerade aktuellen Momentanpol M . Mit sei- ner Hilfe können wir nun die Hüllkurven auch punktweise konstruieren. Da die Strecken AB und F 1 F 2 F 3 Bringen wir ihn um die Ecke? Hier handelt es sich natürlich nicht um eine Anfrage in mörderischer Absicht, auch wenn es um ei- ne Erbschaft geht. Vielmehr geht es um ein Problem, wie es sich häufig in modernen Wohnungen mit ihren schmalen Türen und Gängen und niedrigen Raumhöhen stellt: Schaffen wir es, den wunder- schönen alten Kasten, den uns Onkel Walter hinterließ, auf konventionellem Weg an den gewünsch- ten Platz in der Wohnung zu transportieren. Das wollen wir wissen, bevor wir den Kasten vier Stock- werke hinauf getragen haben und irgendwo stecken bleiben. Die rechtzeitige Antwort darauf kann die Mathematik liefern! Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv