Reichel Mathematik 7, Schulbuch

17 1.3 Algebraische Gleichungen höheren Grades 1 (wie in Beispiel F) oder wo die Koeffizienten nach gewissen Regeln (zB symmetrisch wie in Beispiel D) angeordnet sind. Hinweise und Beispiele zu solchen „Tricks“ findest du in den folgenden Aufgaben. Und will man sich nicht mit graphisch oder numerisch ermittelten Näherungslösungen (vgl. etwa Buch 6. Kl. Kap. 7.2) zufriedengeben, so bleibt letztlich nur ein (systematisches) Probieren, was aber nur bei vermuteten „schönen“ Lösungen anzuraten ist. Hilfreich ist bei Letzterem unter Umständen die Satz- gruppe von VIETA, in der allgemeine Beziehungen zwischen den Lösungen x i und den Koeffizienten a i einer algebraischen Gleichung hergestellt werden und die den „Probierraum“ deutlich einschränken (können). 1 Besonders wichtig (und leicht einzusehen) ist die Beziehung † x 1 ·x 2 ·…·x n † = † a 0 † Daraus folgt unmittelbar: Sind alle x i ganzzahlig, so ist a 0 eine ganze Zahl . Für die praktische Anwendung sind „umgekehrte“ Überlegungen wichtig : Satz Besitzt eine normierte aøgebraische Gøeichung øauter ganzzahøige Koeffizienten und gibt es überhaupt ganzzahøige Lösungen, so sind diese Teiøer des absoøuten Gøiedes. Beispiel E Löse x 4 – 4 x 3 + x 2 + 16 x – 20 = 0 für G = C ! Lösung: Man muss zuerst eine Lösung „erraten“, um dann den Grad des Poøynoms durch Abspaøten dieser Lösung „herunterzudrücken“. Dabei kann man gemäß dem obigen Satz systematisch vor- gehen, indem man zunächst aøøe Teiøer des absoøuten Gøiedes a 0 = ‒20 ermitteøt: T (‒20) = {±1; ±2; ±4; ±5; ±10; ±20} x 1 = ‒2 ist eine Lösung. Division von p (x) durch (x – (‒2)) = (x + 2) øiefert p 1 (x): (x 4 – 4 x 3 + x 2 + 16 x – 20)(x + 2) = x 3 – 6 x 2 + 13 x – 10 x 4 + 2 x 3 – 6 x 3 + x 2 – 6 x 3 – 12 x 2 13 x 2 + 16 x 13 x 2 + 26 x – 10 x – 20 – 10 x – 20 (x 4 – 6 x 3 – 13 x 2 – 10 x – 2 0 Rest Nun ist p 1 (x) = 0 zu øösen. Nochmaøiges systematisches „Raten“ øiefert: x 2 = 2 Division von p 1 (x) durch (x – 2) ergibt: (x 3 – 6 x 2 + 13 x – 10)(x – 2) = x 2 – 4 x + 5 x 3 – 2 x 2 – 4 x 2 + 13 x – 4 x 2 + 8 x 5 x – 10 5 x – 10 0 Rest Das Verfahren führt aøso øetztøich auf eine quadratische Gøeichung x 2 – 4 x + 5 = 0, die wir øeicht øösen können: x 3,4 = 2 ± i Gesamtresuøtat: L = {2; ‒2; 2 + i; 2 – i} Man sieht: Es gibt in C genau vier Lösungen, davon sind zwei reeøø und zwei konjugiert-kompøex. Nicht aøøe Lösungen sind ganzzahøig, dennoch aber ist ihr Produkt ‒20. 1 Beachte, dass der Buchstabe i bei x i und a i einen Index , in komplexen Zahlen wie zB 2 + 3 i hingegen die imaginäre Einheit bezeichnet! A 91a A 92b 155152-017 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv