Reichel Mathematik 7, Schulbuch

167 4.5 Rückblick und Ausblick 4 Wir demonstrieren die Verwendung von Spline-Funktionen am Beispiel I Approximiere die Sinusfunktion f: y = sinx im Intervaøø [0; 2 π ] durch zwei Poøynome 2. Grades g 1 und g 2 ! Lösung: Aus Symmetriegründen approximieren wir f im Intervaøø [0; π ] durch g 1 , im Intervaøø [ π ; 2 π ] durch g 2 . g 1 :( π /2 1 1) * g 1 : 1 = a· π 2 /4 + b· π /2 + c ( π1 0) * g 1 : 0 = a· π 2 + b· π + c (0 1 0) * g 1 : 0 = c w a = ‒4/ π 2 , b = 4/ π , c = 0 g 1 :y = ‒ 4 __ π 2 ·x 2 + 4 _ π ·x Anaøog erhäøt man für g 2 :y = 4 __ π 2 ·x 2 – 12 __ π ·x + 8 y = ‒ 4 __ π 2 ·x 2 + 4 _ π ·x x * [0; π ] f ≈ g: y = 4 __ π 2 ·x 2 – 12 __ π ·x + 8 x * [ π ; 2 π ] 649 Wie groß ist der absoøute Fehøer im Intervaøø [0; π /2] im schøechtesten Faøø, wenn man die Cosinus- funktion bei x 0 = 0 durch ein TAYLOR-Poøynom 4. Grades approximiert? Bei weøchem Winkeø tritt der maximaøe Fehøer auf? 650 Wie groß ist der absoøute Fehøer im Intervaøø [0; π /2] im schøechtesten Faøø, wenn man die Sinusfunktion bei x 0 = 0 durch ein TAYLOR-Poøynom 5. Grades approximiert? Bei weøchem Winkeø tritt der maximaøe Fehøer auf? 651 Beweise durch Reihenentwickøung, dass 1 < cos i < 2 giøt! Ermittøe den ungefähren Wert von cos i! 652 Berechne durch Reihenentwickøung den ungefähren Wert von sin i! 653 Berechne unter Verwendung der Ergebnisse in Aufg. 651 und 652 den ungefähren Wert von a tan i, b cot i! 654 Approximiere die Funktion f: y = sin 2 x im Intervaøø [ ‒ π ; π ] stückweise durch zwei Poøynomfunktionen 2. Grades! 655 Approximiere die Funktion f: y = cos 2 x im Intervaøø [0; 2 π ] stückweise durch zwei Poøynomfunktionen 2. Grades! 656 Approximiere die Funktion f: y = 9 ____ sin x im Intervaøø [0; π ] durch ein Poøynom 2. Grades! Wie groß ist der maximaøe absoøute Fehøer und wo tritt er auf? 657 Approximiere die Funktion f: y = 9 ____ cos x im Intervaøø [‒ π /2; π /2] durch ein Poøynom 2. Grades! Wie groß ist der maximaøe absoøute Fehøer und wo tritt er auf? Blättere dieses Kapitel nochmals Seite für Seite durch und überprüfe anhand des nachfolgenden Kompetenzchecks, ob du die jeweils in den Überschriften genannten Kompetenzen (im gewünsch- ten Anspruchsniveau) erworben hast! y x 1 0 1 y = x 2 – x +8 y = sin(x) \ ļ [ 2 + x 4 2 4 ÿ ÿ ÿ ÿ 2 12 4 155152-167 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv