Reichel Mathematik 7, Schulbuch

165 4.5 Rückblick und Ausblick 4 2. Extremwertaufgaben mit mehrstelligen Funktionen kennen Das Einführungsbeispiel A ist noch in anderer Hinsicht interessant. Die Zielfunktion A(x, y) = x·y be- sitzt als zweistellige Funktion als Graph die in Fig. 4.22 dargestellte Fläche. Sie wird aufgrund der Ne- benbedingungen x º 0 , y º 0 und x + y = 25 von zwei Strecken und dem über der Diagonalstrecke liegen- den Kurvenbogen begrenzt. Dessen Hochpunkt liegt aus Symmetriegründen bei H (12,5 1 12,5 1 156,25) und ist der höchste Punkt der Fläche. Er liefert mit x = y = 12,5 die Abmessungen sowie mit A = 156,25 den Flächeninhalt des gesuchten flächengrößten Rechtecks. Fig. 4.22 h ø 100 0 10 b H 10 Fig. 4.23 z = f(x,y) x 0 H y Ganz allgemein wird der optimale Wert einer Extremwertaufgabe mit zwei unabhängigen Variablen durch den höchsten Punkt H (bzw. tiefsten Punkt T ) der durch die zweistellige Zielfunktion beschriebe- nen Fläche repräsentiert. Liegt dieser Punkt (anders als in Fig. 4.22) nicht am Rand der Fläche und be- sitzt diese keine Kanten, Spitzen usw., so ist H (bzw. T ) durch eine horizontale Tangentialebene gekenn- zeichnet. Erøäutere den Sachverhaøt an Fig. 4.23! Wozu ist dieser Sachverhaøt anaøog? Zur Tatsache, dass (unter gehörigen Voraussetzungen) der Hoch- bzw. Tiefpunkt einer einstelligen Funk- tion durch eine horizontale Tangente gekennzeichnet ist. Extremwertaufgaben mit zwei- und mehrstel- ligen Funktionen lassen sich also weitgehend analog zu denen mit einstelligen Funktionen behandeln, sofern sie sich nicht – wie in Kap. 4.1 – schon von vornherein aufgrund der Nebenbedingung(en) auf die Ermittlung der Extrema einer einstelligen Funktion zurückführen lassen. 3. Die Idee der Potenzreihenentwicklung verstehen In Kap. 4.3 haben wir Funktionen bei einer Stelle x 0 in ihre Potenzreihen entwickelt. Die Darstellung ei- ner Funktion durch eine Potenzreihe ist im Sinn der Grenzwertrechnung in ähnlicher Weise exakt , wie die Darstellung zB eines Bruches als unendliche Dezimalzahl. Überhaupt liegt der Darstellung reeller Zahlen durch unendliche Dezimalzahlen und der Darstellung von Funktionen durch Potenzreihen die gleiche Idee zugrunde. So ist die Darstellung der Zahl 5 __ 27 ≈ 0,185185 = 1·10 ‒1 + 8·10 ‒2 + 5·10 ‒3 + 1·10 ‒4 + 8·10 ‒5 + 5·10 ‒6 ebenso eine Approximation durch eine Summe von Potenzen – also „polynomisch“ – wie die folgende Darstellung der Cosinusfunktion: cos x ≈ 1 – 1/2·x 2 + 1/24·x 4 S 143 155152-165 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum d s Verlags öbv