Reichel Mathematik 7, Schulbuch

164 Einige Anwendungen der Differentialrechnung 4 Rückblick und Ausblick 1. Neben den Extremwertaufgaben andere Formen von Optimierungsaufgaben kennen In Kap. 4.1 haben wir so genannte Extremwertaufgaben gelöst. ZB haben wir im Einführungsbeispiel danach gefragt, wie man mit 50 m Maschendrahtgeflecht einen rechteckigen Hühnerhof von maxima- lem Flächeninhalt einzäunen kann, und als Lösung 156,25 m 2 gefunden. Die Vorgabe, dass es sich um einen rechteckigen Platz handeln soll, ist ganz wesentlich. Denn wie man sofort nachrechnet, kann man mit 50 m Maschendrahtgeflecht einen um rund 42,7 m 2 größeren kreis- förmigen Platz einzäunen. Die von uns gefundene optimale Lösung ist also nur unter der Voraussetzung der Rechteckigkeit des Platzes richtig, wobei sich diese Voraussetzung in der Zielfunktion widerspie- gelt. Geben wir die Form des Platzes nicht vor, so ist auch die Zielfunktion nicht festgelegt und wir ste- hen vor dem ungleich schwierigeren Problem, jene Form und damit Zielfunktion zu finden, die zum größtmöglichen Flächeninhalt führt. Halten wir fest: Einmal sucht man jene Stelle(n) x in der Menge aller zulässigen Argumente, an der (denen) eine feste Funktion (die so genannte Zielfunktion) ihr globales Extremum annimmt; man spricht von einer Extremwertaufgabe . Ist insbesondere die Zielfunktion linear , so spricht man von einer linearen Optimierungsaufgabe . Das andere Mal sucht man jene Funktion(en) f: y = f (x) in der Menge aller Funktionen, für die die ab- hängige Größe y (zB der Flächeninhalt) unter Einhaltung gewisser Nebenbedingungen (hier: dem vorge- gebenen Umfang) ihren optimalen Wert annimmt; man spricht hier von einer Variationsaufgabe . Das Lösen von Variationsaufgaben mit mathematischen Mitteln ist ungemein schwierig, sodass man sol- che Probleme häufig am Computer oder durch (physikalische) Modellversuche löst. Denkt man sich (nicht ganz realistisch) etwa im obigen Beispiel das Maschendrahtgeflecht durch ein zwar biegsames, aber undehnbares und wasserundurchlässiges Band fester Länge mit angesetztem widerstandslos dehn- barem Boden ersetzt, womit ein allgemeiner Zylinder entsteht, so nimmt dieser nach Eingießen von Wasser unter dem Einfluss des nach allen Seiten gleich wirkenden Drucks die Gestalt eines Dreh -Zylin- ders an. Erøäutere anhand von Fig. 4.21! Fig. 4.21 Die auf S. 34 gezeigte Minimalfläche ist in analoger Weise die Lösung einer Variationsaufgabe; sie stellt jene Fläche mit minimalem Flächeninhalt dar – daher der Name – welche den vorgegebenen (zB durch eine Drahtschlinge realisierten) Rand besitzt. Die physikalische Realisierung durch ein Seifenhäutchen beruht auf der Oberflächenspannung, welche das Seifenhäutchen in eine energetisch minimale Form zwingt. Ähnliches kennen wir von einem Luftballon. Erøäutere! 4.5 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv