Reichel Mathematik 7, Schulbuch

16 Komplexe Zahlen und algebraische Gleichungen 1 Um die „restlichen“ Nullstellen von p (x) zu finden, muss man eine Nullstelle x 2 von p 1 (x) finden, diese durch Polynomdivision abspalten, für das neue Quotientenpolynom p 2 (x) wieder eine Nullstelle finden, diese durch eine weitere Polynomdivision abspalten usw. Wie oft kann man eine Nuøøsteøøe abspaøten? Begründe! Genau n-mal; nach n-maligem Abspalten hat das Quotientenpolynom den Grad 0 . Daraus ergibt sich un- mittelbar der Satz Wurzeøsatz von VIETA für normierte aøgebraische Gøeichungen: Sind x 1 , x 2 , …, x n die Lösungen der Gøeichung x n + a n – 1 ·x n – 1 + … + a 0 = 0 für G = C , so giøt: x n + a n – 1 ·x n – 1 + … + a 0 = (x – x 1 )·(x – x 2 )·…·(x – x n ) Dh., jedes Poøynom n-ten Grades øässt sich aøs Produkt von n Linearfaktoren (seinen „Wurzeø- faktoren“) anschreiben. Bemerkungen: 1) Die Nullstellen müssen nicht paarweise verschieden sein; wenn eine Nullstelle in dieser Zerlegung genau k-mal auftritt (sich also k-mal abspalten lässt), so heißt k die Vielfachheit der Nullstelle . Beispiel: x 1 = 4 ist eine dreifache Nullstelle, x 2 = ‒2 eine einfache Nullstelle des Polynoms vierten Grades p (x) = (x – 4) 3 ·(x + 2) = x 4 – 10 x 3 + 24 x 2 + 32 x – 128 . Erkøäre! 2) Beachte: Die Wurzelfaktoren können komplexe Zahlen enthalten, sodass unter Umständen eine „kom- plexe“ Polynomdivision durchzuführen ist (vgl. Beispiel P ). Nur im hier stets vorausgesetzten Fall von Polynomen mit ausschließlich reellen Koeffizienten geht es einfacher: Da mit jeder komplexen Nullstelle z auch die konjugiert-komplexe Zahl _ z (mit der gleichen Vielfachheit wie z ) als Nullstelle dieses Polynoms auftritt, kann man die beiden Wurzelfaktoren zu einem reellen Polynom 2. Grades zusammenfassen und dieses auf einmal abspalten (vgl. Fortsetzung von Beispiel P ). Dieser Fall ist aber eher nur von theoretischer Bedeutung. Denn Abspalten kann man nur Lösungen, die man „ir- gendwie gefunden“ hat, und das sind praktisch immer reelle Lösungen. Beispiel D Löse x 3 – x 2 + x – 1 = 0 für G = C ! Lösung: Eine Lösung øässt sich „durch bøoßes Hinschauen“ finden (erraten): x = 1. Nun dividieren wir x 3 – x 2 + x – 1 durch den Wurzeøfaktor (x – 1) und erhaøten: (x 3 – x 2 + x – 1)(x – 1) = x 2 + 1 x 3 – x 2 x – 1 x – 1 0 Rest Nun brauchen wir nur noch die Lösungen von x 2 + 1 = 0 zu finden: Wegen x 2 + 1 = (x + i)·(x – i) = (x – x 2 )·(x – x 3 ) ist x 2 = ‒i und x 3 = i. Ergebnis (in Übereinstimmung mit der Theorie): Es gibt drei Lösungen, zwei davon sind „echt“ kompøex und biøden ein Paar konjugiert-kompøexer Zahøen: L = {1; ‒i; i} 3. Einzelne Lösungen finden Abspalten kann man nur Lösungen, die man kennt. Wie aber findet man überhaupt Lösungen? In praktischen Problemen kennt man mitunter aus der Problemstellung ein(ig)e – meist triviale – Lösung(en) und kann so den Grad der Gleichung herunterdrücken. In anderen Fällen liegen spezielle Typen von Gleichungen vor, die mit besonderen „Tricks“ gelöst wer- den können. Dazu zählen etwa Gleichungen, wo nur bestimmte Potenzen der Unbekannten vorkommen S 30 S 31 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv