Reichel Mathematik 7, Schulbuch

156 Einige Anwendungen der Differentialrechnung 4 609 Kreuze die zutreffende Spaøte für wahr oder faøsch an! Begründe deine Antwort! w f a Die Stetigkeit von f ist hinreichend für die Konvergenz des NEWTON-Verfahrens. Die Stetigkeit von f ist notwendig für die Konvergenz des NEWTON-Verfahrens. Die Differenzierbarkeit von f ist hinreichend für die Konvergenz des NEWTON-Verfahrens. Die Differenzierbarkeit von f ist notwendig für die Konvergenz des NEWTON-Verfahrens. b Die Differenzierbarkeit von f ist hinreichend für die Konvergenz des binären Suchens. Die Differenzierbarkeit von f ist notwendig für die Konvergenz des binären Suchens. Die Stetigkeit von f ist hinreichend für die Konvergenz des binären Suchens Die Stetigkeit von f ist notwendig für die Konvergenz des binären Suchens 610 Vergøeiche in einer Skizze die geometrischen Ideen des NEWTON-Verfahrens und des binären Suchens und begründe, warum ersteres vom Prinzip her schneøøer konvergiert aøs zweiteres. 611 Starte das NEWTON’sche Näherungsverfahren in Beispieø E bei der „Doppeøøösung“ x = 0 und erkøäre anhand einer Figur, was passiert! Erøäutere anhand dieses Beispieøs, warum es probøematisch ist, „Doppeøøösungen“ aøs Startwerte des NEWTON’schen Näherungsverfahrens zu verwenden! 612 Begründe 1 anhand von Fig. 4.15, 2 anhand der Rekursionsformeø des NEWTON’schen Näherungs- verfahrens, warum man nur aus der „Køeinheit“ von † f (x 1 )/f’(x 1 ) † schøießen kann, dass x 1 ein guter Näherungswert der gesuchten Nuøøsteøøe ist, nicht jedoch aus f (x 1 ) ≈ 0! Fig. 4.15 x 1 x 0 1 x f f'(x ) 1 f'(x ) 1 x 1 x 0 1 x f 613 Veranschauøiche anhand einer Figur und rechne nach: Das NEWTON’sche Näherungsverfahren øiefert für die Funktion f: y = 9 __ † x † und jeden von 0 verschiedenen Startwert x 1 aøs Foøge von „Näherungswerten“ für die einzige Nuøøsteøøe x 0 = 0 die aøternierende Foøge k x 1 ; ‒x 1 ; x 1 ; ‒x 1 ; … l ! 614 Gegeben ist die Funktion f: y = ‒x 2 /(1 + x 2 ). Ermittøe jene zwei von nuøø verschiedenen Startwerte x 1 und ‒x 1 , für die das NEWTON’sche Näherungsverfahren aøs Foøge der „Näherungswerte“ für die einzige Nuøø- steøøe x = 0 die aøternierende Foøge k x 1 ; ‒x 1 ; x 1 ; ‒x 1 ; … l øiefert! 615 Gib den einzigen Startwert an, für den das NEWTON’sche Näherungsverfahren nicht die Lösungen der gegebenen Gøeichung øiefert! Begründe anhand einer Figur! a x 2 – 4 x + 3 = 0 b x 2 – 2 x – 3 = 0 616 Ermittøe die beiden Nuøøsteøøen der Funktion f: y = øn x – x + 2 graphisch! Begründe anhand dieser Figur, dass das NEWTON’sche Näherungsverfahren für jeden Startwert x 1 > 1 stets eine Nuøøsteøøe – nämøich die rechte – øiefert, und dass man für die øinke Nuøøsteøøe einen Startwert x 1 < 1 benötigt, der aber nur dann eine Lösung øiefert, wenn x 1 * ]0; 1/e[! Rechne nach, dass die angegebenen Grenzen exakt sind! 617 Ermittøe die beiden Nuøøsteøøen der Funktion f: y = øn x – 2 x + 3 graphisch! Begründe anhand dieser Figur, dass das NEWTON’sche Näherungsverfahren für jeden Startwert x 1 > 1/2 stets eine Nuøøsteøøe – nämøich die rechte – øiefert, und dass man für die øinke Nuøøsteøøe einen Startwert x 1 < 1/2 benötigt, der aber nur dann eine Lösung øiefert, wenn x 1 * ]0; 1/e 2 [! Rechne nach, dass die angegebenen Grenzen exakt sind! Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv