Reichel Mathematik 7, Schulbuch

155 4.2 Ermitteln von Nullstellen mit Hilfe der Differentialrechnung – Das NEWTON’sche Näherungsverfahren 4 Der Vorteil des NEWTON’schen Näherungsverfahrens ist in erster Linie seine rasche Konvergenz – falls es konvergiert. Der Nachteil des Verfahrens besteht nämlich darin, dass das Verfahren nicht konvergie- ren muss! Erøäutere anhand von Fig. 4.14! Fig. 4.14 x t 1 x 1 f t 2 x 0 x 2 Mitentscheidend für die Konvergenz des Verfahrens ist offenbar, ob der Näherungswert genügend nahe bei der wahren Nullstelle liegt und wie stark f dort geneigt und gekrümmt ist . Letzteres lässt erwar- ten, dass f’ und f’’ eine Rolle spielen, doch sind genauere Bedingungen schwierig zu finden und zu for- mulieren. Wir beschränken uns daher auf den Satz Konvergenzsatz für das NEWTON’sche Näherungsverfahren: Es sei x 0 die Lösung der Gøeichung f (x) = 0. f sei zweimaø differenzierbar, f’’ bei x 0 stetig und f’(x 0 ) ≠ 0; faøøs der Startwert x 1 hinreichend nahe bei x 0 øiegt, so konvergiert die vom Verfahren geøieferte Foøge k x 1 ; x 2 ; … l der Näherungswerte gegen die Lösung x 0 . 2. Näherungswerte von Nullstellen finden Gemäß dem obigen Konvergenzsatz steht und fällt die Anwendung des Verfahrens mit dem Finden eines geeigneten Startwertes. Wie kann man diesen finden? Bei algebraischen Gleichungen hilft oftmals der folgende Trick. Erkøäre anhand des Beispieøs! Beispiel E Ermittøe die reeøøe Lösung der Gøeichung x 3 – 8 x 2 + 1 = 0 mit Hiøfe des NEWTON’schen Näherungs- verfahrens! Lösung: Das absoøute Gøied 1 ist „reøativ køein“, daher vernachøässigen wir es und erhaøten: x 3 – 8 x 2 ≈ 0 w x 2 ·(x – 8) ≈ 0 Aufgrund des Wurzeøsatzes von VIETA scheint (nahe) bei x = 0 eine doppeøte Nuøøsteøøe zu øiegen, (nahe) bei x = 8 eine einfache Nuøøsteøøe. Aus gewissen Gründen empfiehøt es sich, die einfache Nuøøsteøøe aøs Startwert für das NEWTON’sche Näherungsverfahren zu verwenden: n x n f (x n ) f’(x n ) f (x n ) ___ f’(x n ) x n – f (x n ) ___ f’(x n ) 1 8,00000 1,000000 64,000000 0,015625 7,984375 2 7,984375 0,003902 63,500732 0,000061 Man sieht: Schon nach einem Durchøauf ist die Näherungsøösung sehr gut . Dieser Trick lässt sich auch bei Gleichungen mit Erfolg anwenden, die sich durch eine geeignete Substi- tution auf algebraische Gleichungen zurückführen lassen . Ansonsten muss man auf das bereits be- kannte graphische Näherungsverfahren oder das binäre Suchen (vgl. Buch 6. Kl. S. 238f) oder auch auf bloßes Probieren zurückgreifen. In Beispiel D haben wir den Startwert x 1 = 1 durch Probieren gefunden, wir hätten aber auch den in Buch 6. Kl. S. 240 graphisch ermittelten Näherungswert 0,75 als Startwert x 1 verwenden können. A 613 A 614 A 611 A 612 A 623 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv