Reichel Mathematik 7, Schulbuch

154 Einige Anwendungen der Differentialrechnung 4 Ermitteln von Nullstellen mit Hilfe der Differentialrechnung – Das NEWTON’sche Näherungsverfahren Mit dem Ermitteln von Nullstellen einer Funktion haben wir uns schon mehrfach auseinandergesetzt; dabei haben wir sowohl „exakte“ Lösungsmethoden als auch Näherungsverfahren behandelt. Denke etwa an die Lösungsformeln für quadratische oder auch kubische Gleichungen oder an das graphische oder numerische Lösen (vgl. Buch 6. Kl. Kap. 7) von Gleichungen der Gestalt f (x) = 0 . Für differenzierba- re Funktionen wollen wir ein weiteres Näherungsverfahren kennen lernen. 1. Das NEWTON’sche Verfahren verstehen und anwenden Die Idee ist die folgende : Kennt man einen Näherungs- wert x 1 der gesuchten Nullstelle x 0 , so liefert der Schnitt- punkt der Tangente t im Punkt A (x 1 1 f (x 1 )) mit der x-Achse offenbar den besseren Näherungswert x 2 . Rechnerisch geht man wie folgt vor: Aus dem grünen Drei- eck in Fig. 4.13 liest man ab: f (x 1 ) + f’(x 1 )·(x 2 – x 1 ) = 0 woraus folgt: x 2 = x 1 – f (x 1 ) ___ f’(x 1 ) Genügt dieser Näherungswert noch nicht den Erfordernis- sen, so errechnet man in analoger Weise aus x 2 einen Nä- herungswert x 3 : x 3 = x 2 – f (x 2 ) ___ f’(x 2 ) Genügt auch dieser Näherungswert noch nicht den Erfordernissen, so errechnet man in analoger Weise die Näherungswerte x 4 , x 5 usw. Leicht merkbar (und programmierbar) ist die Prozedur in Form der folgenden Rekursionsformel: Satz NEWTON’sches Näherungsverfahren: x n + 1 = x n – f (x n ) ___ f’(x n ) ; Startwert x 1 Beispiel D Verbessere die Näherungsøösung x 1 = 1 der Gøeichung cos x = x zweimaø mit Hiøfe des NEWTON’schen Näherungsverfahrens! Veranschauøiche die Vorgangsweise in einer Figur! Lösung: Wir ordnen der gegebenen Gøeichung die Funktion f: y = x – cos x zu. Dann ist f’ durch die Funk- tionsgøeichung y = 1 + sinx gegeben. Faøøs kein program- mierbarer Taschenrechner zur Verfügung steht, behiøft man sich mit der foøgenden Tabeøøe (x bzw. x n im Bogen- maß): n x n f (x n ) f’(x n ) f (x n ) ___ f’(x n ) x n – f (x n ) ___ f’(x n ) 1 1,00000 0,45970 1,84147 0,24964 0,75036 2 0,75036 0,01892 1,68190 0,01125 0,73911 3 0,73911 … 4.2 K 1 Fig. 4.13 f A x x – x 2 1 f '(x )(x – x ) 1 2 1 t 1 t 2 x 1 x 2 x 3 x 0 F 4.13 155152-154 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv