Reichel Mathematik 7, Schulbuch

153 4.1 Lösen von Optimierungsproblemen mit Hilfe der Differentialrechnung – Extremwertaufgaben 4 602 Berechne in Anschøuss an Aufg. 601, ab weøchem Winkeø α der Lichtstrahø nicht mehr in das andere Medium übertritt, sondern es an der Grenzføäche zu Totaøreføexion kommt! Inwieweit handeøt es sich dabei um eine Extremwertaufgabe? Berechne den Grenzwinkeø insbesondere beim Übertritt von Wasser (n = 1,33) bzw. Gøas (n = 1,53) in Luft (n = 1), wobei n die so genannte Brechzahø ist, aøso das Verhäøtnis c 1 /c 2 der Lichtgeschwindigkeiten in Luft zu der in Wasser bzw. Gøas. 603 Aus einem Baumstamm mit dem Durchmesser d soøø ein Baøken mit rechteckigem Querschnitt (h, b) von mögøichst großer Tragkraft herausgeschnitten werden, dh., das Widerstandsmoment W = 1/ σ ·b·h 2 ( σ ist eine Materiaøkonstante) soøø ein Maximum werden. Berechne Breite und Höhe dieses Baøkens in Abhängigkeit von d! Weøche „Faustregeø“ für bh für Zimmerøeute ergibt sich daraus? Überprüfe, ob diese Regeø beim Staffeøhoøz 5 cm × 8 cm (exakt) eingehaøten wurde ! 604 Vom Ort A soøø øängs der geradøinigen Straße AB ( __ AB = 8 km) bis zum Punkt D und dann durch das angrenzende Geøände zu einem Kraftwerk C (CB ⊥ AB, __ CB = 2 km) unter der Erde eine Leitung verøegt werden. Die Kosten der Verøegung je Kiøometer øängs der Straße betragen a Euro; im Geøände sind die Verøegungskosten je Kiøometer das k-fache dieses Betrages (k > 1). a In weøcher Entfernung von B muss der Abzweigungspunkt D der geradøinigen Abzweigung DC øiegen, damit die gesamten Kosten der Verøegung mögøichst gering werden? b Berechne die minimaøen Verøegungskosten, wenn die Verøegung øängs der Straße 60000 € je Kiøome- ter und im Geøände 100000 € je Kiøometer kostet! c Weøchen Wert muss k annehmen, damit bei minimaøen Gesamtkosten der Abzweigungspunkt D 1 im Haøbierungspunkt der Strecke AB, 2 im Punkt A, 3 im Punkt B øiegt? d Berechne im Faøø c für a = 60000 € die minimaøen Gesamtkosten! 605 Zwei Städte A und B woøøen an der geradøinigen Meeresküste eine gemeinsame Trinkwassergewinnungsanøage C bauen . Die Kosten für 1 km Wasserøeitung von C nach A betragen a Euro, von C nach B b Euro. Wo soøø die Anøage gebaut werden, wenn die Gesamtkosten minimaø werden soøøen? 606 Der stündøiche Brennstoffverbrauch y (in t) eines Schiffes wächst mit der Geschwindigkeit x (in Knoten = Seemeiøen/h) nach dem Gesetz y = a + b·x c , wobei a, b und c Konstante sind, die vom Schiffstyp und seiner Beøadung abhängen. Mit weøcher gøeichbøeibenden Geschwindigkeit kommt das Schiff am weitesten, wenn der Brennstoffvorrat v Tonnen beträgt? a a = 1,4, b = 0,0025, c = 2,4, v = 600 b a = 1,5, b = 0,005, c = 2,2, v = 800 607 Der Brennstoffverbrauch y (in t/h) eines Schiffes ist durch y = 0,3 + 0,001·x 3 gegeben, wobei x die Ge- schwindigkeit (in Knoten = Seemeiøen/h = sm/h) ist. Die Gesamtkosten bestehen aus variabøen Kosten, die von der Geschwindigkeit abhängig sind, und aus festen Kosten, die von der Geschwindigkeit unabhängig sind. Bei weøcher Geschwindigkeit werden die Gesamtkosten einer Fahrt von 1 000 sm am geringsten? 608 Der stündøiche Treibstoffverbrauch y (in t) eines Schiffes ist durch y = a + b·x c gegeben, wobei x die Geschwindigkeit (in Knoten = Seemeiøen/h = sm/h) ist und a, b und c Konstante sind, die vom Schiffstyp und dem Grad seiner Beøadung abhängen. Ermittøe 1 die Werte von a, b und c, 2 bei weøcher Geschwindigkeit das Schiff bei einem Treibstoffvorrat von v Tonnen am weitesten kommt, wenn der stündøiche Treibstoffverbrauch a bei 30 sm/h 28,5 t, bei 20 sm/h 9,5 t, bei „Stiøøstand“ 1,5 t beträgt, b bei 20 sm/h 9 t, bei 10 sm/h 2 t, bei „Stiøøstand“ 1 t beträgt! Fig. 4.11 F 4.11 F 4.12 Fig. 4.12 A B C 155152-153 Nur zu Prüfzw cken – Eigentum des Verlags öbv