Reichel Mathematik 7, Schulbuch

15 1.3 Algebraische Gleichungen höheren Grades 1 Algebraische Gleichungen höheren Grades 1. Algebraische Gleichungen definieren können Im Folgenden wollen wir unsere Überlegungen zu quadratischen Gleichungen p (x) = 0 , wobei p (x) ein quadratisches Polynom ist, auf Polynome höheren Grades verallgemeinern: Definition Eine aøgebraische Gøeichung (n-ten Grades) ist eine Gøeichung vom Typ p (x) = 0, wobei p (x) ein Poøynom (n-ten Grades) ist: a n ·x n + a n – 1 ·x n – 1 + … + a 1 ·x + a 0 = 0 a n ≠ 0 Die Zahøen a n , a n – 1 , …, a 0 heißen Koeffizienten , a 0 heißt absoøutes Gøied , n heißt Grad der Gøeichung (des Poøynoms). Ein Poøynom vom Grad 0 heißt konstantes Poøynom . Ist a n = 1, so heißt die Gøeichung (das Poøynom) normiert . Wir beschränken uns hier (vorläufig) auf reelle Koeffizienten , dh. a i * R , obwohl die Sache nicht viel an- ders verliefe, wenn wir auch komplexe Zahlen als Koeffizienten zuließen . Bemerkungen: 1) Wie bei den quadratischen Gleichungen kann man wegen a n ≠ 0 jede algebraische Gleichung mittels Division durch a n in die zugehörige normierte Gleichung überführen; an den Lösungen der Glei- chung ändert sich dabei nichts. Begründe! 2) Wie bei den quadratischen Gleichungen heißt eine reelle oder komplexe Zahl x 1 Nullstelle des Poly- noms p (x) , wenn p (x 1 ) = 0 ist. Jede Nullstelle von p (x) ist also Lösung der Gleichung p (x) = 0 , und umgekehrt. 3) Naheliegend ist die Frage, ob sich auch der Wurzelsatz von VIETA für quadratische Gleichungen auf algebraische Gleichungen höheren Grades verallgemeinern lässt. 2. Reelle Lösungen einer algebraischen Gleichung abspalten Satz Wenn x 1 eine Nuøøsteøøe von p (x) ist, wobei p (x) ein Poøynom vom Grad n º 1 ist, so kann man p (x) ohne Rest durch (x – x 1 ) dividieren. Dh.: p (x) = (x – x 1 )·p 1 (x), wobei p 1 (x) ein Poøynom vom Grad n – 1 ist. (x – x 1 ) heißt der zu x 1 gehörige Wurzeøfaktor (auch Linearfaktor ). Für n = 2 folgt dies unmittelbar aus dem Wurzelsatz von VIETA . Erkøäre! Zum allgemeinen Beweis (für einen anderen Beweis siehe Seite 20 !) geht man wie folgt vor: p (x) = a n x n + a n – 1 x n – 1 + … + a 1 x + a 0 p (x 1 ) = a n x 1 n + a n – 1 x 1 n – 1 + … + a 1 x 1 + a 0 = 0 p (x) = p (x) – 0 = p (x) – p (x 1 ) = a n (x n – x 1 n ) + a n – 1 (x n – 1 – x 1 n – 1 ) + … + a 1 (x – x 1 ) Aus jedem Summanden lässt sich der Faktor (x – x 1 ) herausheben, denn es gilt für jedes k * N * : x k – x 1 k = (x – x 1 )·(x k – 1 + x k – 2 ·x 1 + … + x·x 1 k – 2 + x 1 k – 1 ) Man erhält so p (x) = (x – x 1 )·p 1 (x) wobei p 1 (x) vom Grad n – 1 ist, und dies war ja zu beweisen. Dieser Sachverhalt ist eine Art „Schlüssel“ für die weitere Theorie. Of- fensichtlich entsteht durch Abspalten (des Linearfaktors) der Null- stelle x 1 vom Polynom p (x) ein Polynom p 1 (x) vom Grad n – 1 . Außer- dem ist jede Nullstelle von p 1 (x) auch Nullstelle von p (x) . Begründe! 1.3 K 1.6 S 12 A 92 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv