Reichel Mathematik 7, Schulbuch

146 Einige Anwendungen der Differentialrechnung 4 Beispiel C Einem Quadrat mit der Seitenøänge a ist das umfangsgrößte Rechteck einzuschreiben, dessen Seiten paraøøeø zu den Diagonaøen des Quadrates sind! Lösung: Zieøfunktion: U (ø, b) = 2·(ø + b) Der Strahøensatz øiefert (rot bzw. bøau schraffierte Dreiecke in der Figur) die Nebenbedingung: ø _ 2  “ a· 9 __ 2 ___ 2 – b _ 2 § = a· 9 __ 2 ___ 2  a· 9 __ 2 ___ 2 w ø = a· 9 __ 2 – b __ U (b) = (a· 9 __ 2 – b) + b __ U (b) = a· 9 __ 2 __ U (b) = 0 Man sieht: Die Funktion __ U ist konstant. Jedes dem Quadrat in der geforderten Weise eingeschriebene Rechteck besitzt den gøeichen Umfang! Es gibt (in diesem Sinn) kein größtes ! 5. Das „Rezept“ für das Lösen von Extremwertaufgaben verstehen Im Folgenden ist die obige Vorgangsweise beim Lösen von Extremwertaufgaben rezeptartig zusammen- gefasst. Wiederhoøe daran nochmaøs unsere Überøegungen! 1) Lege die (mehrstellige) Zielfunktion fest! Unterscheide klar zwischen echten Variablen und zwischen Formvariablen! 2) Formuliere (anhand von geeigneten Figuren und Sätzen wie zB dem Strahlensatz, dem pythagore- ischen Lehrsatz usw.) die Nebenbedingungen und lege die Definitionsbereiche der Variablen fest! 3) Führe durch geeignete Substitutionen aus den Nebenbedingungen die mehrstellige Zielfunktion auf eine einstellige Zielfunktion zurück und vereinfache diese! 4) Ermittle die lokalen Extrema der (vereinfachten) Zielfunktion entweder mit Hilfe der Differential- rechnung oder ohne diese auf graphisch/numerischem Weg oder durch Probieren/Überlegen ! 5) Überprüfe, ob die lokalen Extrema im vorgesehenen Definitionsbereich liegen, und vergleiche mit den Randextrema! 6) Interpretiere das Ergebnis (Textantwort)! Beachte, dass man manche Extremwertaufgaben auch ohne Differentialrechnung lösen kann oder könn- te (etwa auch das obige Beispiel A ). Daher: Das obige „Rezept“ soll man verstehen und in eine kon- krete Problemlösung umsetzen können, aber nicht sofort und stur in jedem Fall anwenden (versuchen). Aufgaben zur Theorie | 523 Kreuze das Zutreffende an! wahr faøsch Lokaøe Extrempunkte haben stets eine waagrechte Tangente Lokaøe Maxima sind stets größer aøs øokaøe Minima Ein Randminimum ist stets køeiner aøs ein Randmaximum Jede reeøøe Funktion muss im Definitionsintervaøø D f Randextrema annehmen Jede stetige Funktion besitzt genau ein gøobaøes Maximum und Minimum Streng monotone Funktionen haben höchstens Randextrema | 524 Erøäutere 1 anhand der Abøeitungsregeøn, 2 anhand von Skizzen der Funktionsgraphen, warum a f und a·f, a * R , b f und 9 _ f an den gøeichen Steøøen ihre øokaøen Extrema annehmen! 3 Wie kann man diesen Sachverhaøt beim Lösen von Extremwertaufgaben nützen? l b a a A 583 A 587 A 588 A 583 N r zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv