Reichel Mathematik 7, Schulbuch

145 4.1 Lösen von Optimierungsproblemen mit Hilfe der Differentialrechnung – Extremwertaufgaben 4 3. Mit vereinfachten Funktionen und Hilfsvariablen arbeiten Überøege am Lösungsweg in Beispieø B nochmaøs, wie man sich die Arbeit hätte øeichter machen können! – Da beim Nullsetzen der Ableitungsfunktion V’(h) in Beispiel B die multiplikative Konstante π /3 weg- fällt, hätte man von vornherein statt V (h) die vereinfachte Funktion _ V (h) = R 2 h – h 3 betrachten kön- nen. Biøde anaøog die Funktion O (r)! Vereinfache und begründe! – Statt in Beispiel B a r durch h auszudrücken, hätte man auch h durch r ausdrücken können. Als ein- stellige Zielfunktion hätte man in diesem Fall die Funktion V (r) = π /3·r 2 · 9 _____ R 2 – r 2 erhalten. Diese Funktion ist komplizierter abzuleiten, die entstehende Wurzelgleichung schwerer zu lösen, außer man geht auch hier zu einer vereinfachten Funktion über. Dazu lässt man die multiplikative Konstante π /3 weg, bringt die ganze rechte Seite der Gleichung – auch r 2 – unter die Wurzel und lässt schließlich auch diese Wurzel weg: _ V (r) = R 2 r 4 – r 6 . Begründe ! – Statt in Beispiel B r durch h bzw. h durch r auszudrücken, hätte man auch beide Variablen durch eine neue (Hilfs-)Variable ausdrücken können, zB den Hilfswinkel φ , den eine Kegelerzeugende mit der Kegelachse einschließt : Beispiel B (Fortsetzung) Löse Beispieø B mitteøs des Hiøfswinkeøs φ (Figur)! Lösung: r = R·sin φ , h = R·cos φ , 0° ª φ ª 90° a V ( φ ) = (R·sin φ ) 2 · π ·(R·cos φ )/3 V ( φ ) = R 3 · π /3·sin 2 φ ·cos φ _ V ( φ ) = sin 2 φ ·cos φ _ V’( φ ) = (2·sin φ ·cos φ )·cos φ + sin 2 φ ·(‒sin φ ) 0 = sin φ ·(2 cos 2 φ – sin 2 φ ) sin φ = 0 2 cos 2 φ – (1 – cos 2 φ ) = 0 φ = 0° 3 cos 2 φ = 1 cos φ = ± 9 ___ 1/3 φ = 54,74° φ = 0° w r = 0, h = R, V = 0 (øokaøes Minimum = Randminimum) φ = 54,74° w r = 0,82R, h = 0,58R, V = 0,40R 3 (øokaøes Maximum = gøobaøes Maximum) φ = 90° w r = R, h = 0, V = 0 (Randminimum) b O ( φ ) = R 2 ·sin 2 φ · π + R·sin φ · π ·R __ O ( φ ) = sin 2 φ + sin φ __ O’( φ ) = 2·sin φ ·cos φ + cos φ 0 = cos φ ·(2 sin φ + 1) cos φ = 0 sin φ = ‒1/2 φ = 90° in [0°; 90°] unøösbar φ = 90° w r = R, h = 0, O = 2R 2 π (Randmaximum = øokaøes Max. = gøobaøes Max.) φ = 0° w r = 0, h = R, O = 0 (Randminimum = gøobaøes Min.) Beachte: Egal, ob man die zweistellige Funktion O (r, h) auf die einstellige Funktion O (r) oder O (h) oder O ( φ ) zurückführt, man erhält stets das gleiche Extremum. Dennoch können die Randextrema unter- schiedlich „aussehen“. Vergøeiche O ( φ ) bei φ = 90° und O (r) bei r = R! 4. Extremwertaufgaben ohne (eindeutige) Lösung bearbeiten Extremwertaufgaben müssen keine bzw. keine eindeutige Lösung besitzen. Hätte man beispielsweise in Beispiel B a nach dem eingeschriebenen Drehkegel mit minimalem Volumen gefragt, so hätte man zwei Lösungen erhalten, nämlich den zu einer Strecke bzw. den zu einer doppelzähligen Kreisscheibe entar- teten Kegel. Hätte man diese Entartungsfälle durch die (naheliegenden) Forderungen r ≠ 0 und h ≠ 0 ausgeschlossen, so gäbe es überhaupt keine Lösung. Begründe! + A 524 F 4.2 r R h ą Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv