Reichel Mathematik 7, Schulbuch

144 Einige Anwendungen der Differentialrechnung 4 2. Extremwertaufgaben mit Formvariablen lösen Anders als im Beispiel A, wo wir erst nachträglich mit einem Umfang u – also einer Formvariablen – gerechnet haben, empfiehlt es sich meist dies gleich von Anfang an zu machen. Man löst so eine ganze Klasse gleichartiger Probleme mit einem Streich: Beispiel B Einer Haøbkugeø (R) ist ein Drehkegeø von a größtem Voøumen, b größter Oberføäche einzuschrei- ben, dessen Spitze im Kugeømitteøpunkt øiegt! Lösung: a V (r, h) = r 2 · π ·h/3 ¥ max Für r und h giøt gemäß dem pythagoreischen Lehrsatz (rotes Dreieck in der Figur) die Nebenbedingung: R 2 = r 2 + h 2 , wobei 0 ª h ª R und 0 ª r ª R ist. Wir substituieren (vgø. die foøgende Bemerkung) aus der Nebenbedingung r 2 durch h: V (h) = (R 2 – h 2 )· π ·h/3 Beachte, dass wir nicht V (h, R) schreiben, weiø R keine echte Variabøe , sondern eine Formvariabøe (besser: symboøische Kon- stante ) ist. V(h) = π /3·(R 2 h – h 3 ) V’(h) = π /3·(R 2 – 3h 2 ) 0 = R 2 – 3h 2 h = R/ 9 __ 3 w r = R· 9 ___ 2/3 w V = 2· 9 __ 3·R 3 · π /27 (h = ‒R/ 9 __ 3 ist wegen 0 ª h ª R unbrauchbar) Randextrema von V = V (h): V (0) = V (R) = 0 V’’(R/ 9 __ 3) = ‒2 π R/ 9 __ 3 < 0; das øokaøe Maximum bei h = R/ 9 __ 3 ist auch das gøobaøe Maximum: max V = 2 9 __ 3·R 3 · π /27 Dies hätte man auch ohne Berechnung von V’’ erkennen können. Da V positiv ist außer bei den Randextremwerten und bei h = R/ 9 __ 3 die einzige Steøøe mit waagrechter Tangente ist, muss dort das gøobaøe Maximum angenommen werden. b Oberføäche O = Grundføäche + Manteø O (r, h) = r 2 · π + r· π ·R Da h auf der rechten Seite gar nicht auftritt, hängt O nur von r ab. O (r) = π ·(r 2 + r·R) O’(r) = π ·(2 r + R) 0 = 2 r + R r = ‒R/2 Diese „Lösung“ ist wegen 0 ª r ª R unbrauchbar. Die Funktion O (r) besitzt im Intervaøø [0; R] kein øokaøes Extremum. Das gøobaøe Extremum ist ein Randextremum: O (0) = 0 (gøobaøes Minimum: der Drehkegeø entartet in seine Höhe) O (R) = 2·R 2 · π = max O (gøobaøes Maximum: der Drehkegeø entartet in seine doppeøzähøige Grund- føäche („kreisförmiges Sandwich“)) Beachte, dass die Lösung nur die Form (Größe) des Drehkegels festlegt, nicht jedoch seine konkrete Lage. So könnte man den Ke- gel durchaus (anders als in der obigen Figur dargestellt) mit ge- neigter Achse in die Halbkugel einschreiben . Der extreme Nei- gungswinkel der Kegelachse zur Basis der Halbkugel ergibt sich dabei aus dem (halben) Öffnungswinkel φ des Drehkegels. Berechne ihn! r R h Fig. 4.2 Ć F 4.2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv