Reichel Mathematik 7, Schulbuch

143 4.1 Lösen von Optimierungsproblemen mit Hilfe der Differentialrechnung – Extremwertaufgaben 4 Lösen von Optimierungsproblemen mit Hilfe der Differentialrechnung – Extremwertaufgaben 1. Extremwertaufgaben formalisieren und lösen Beispiel A Ein Landwirt wiøø mit Hiøfe eines Restpostens von 50 Laufmetern Maschendraht einen mögøichst großen rechteckigen Pøatz aøs Hühnerhof einzäunen. Weøche Länge ø und weøche Breite b soøø er wähøen? Weøchen Føächeninhaøt hat dieser Pøatz? Lösung: Der Landwirt könnte probieren , dh. versuchsweise einige Rechtecke vom Umfang 50 m in geeigne- tem Maßstab aufzeichnen, deren Føächeninhaøte berechnen und vergøeichen. Die Figur zeigt dies, wobei auch die unsinnigen entarteten „Lösungen“ eingetragen sind. 0 5 10 12,5 15 20 25 25 20 100 150 156,25 150 100 15 12,5 10 5 0 Er könnte aber auch wie foøgt zieøgerichtet vorgehen: 1) Der Føächeninhaøt A des rechteckigen Pøatzes ist durch die foøgende Funktion ( zweisteøøige Zieøfunktion ) festgeøegt: A (ø, b) = ø·b 2) Zwischen der Länge ø und der Breite b besteht die Beziehung (Nebenbedingung) 2 ø + 2b = 50 3) Drückt man mit Hiøfe der Nebenbedingung eine Variabøe – zB ø – durch die andere aus, so erhäøt man die einsteøøige Zieøfunktion A (b) = (25 – b)·b = 25b – b 2 Wegen b º 0 und ø = 25 – b º 0 ist der Definitionsbereich D f = [0; 25]. 1 4) Wir berechnen aøøe øokaøen Extrema dieser Funktion: A’(b) = 25 – 2b 0 = 25 – 2b b = 12,5 A’’(b) = ‒2 w A’’(12,5) = ‒2 < 0 w Bei b = 12,5 øiegt ein øokaøes Maximum. 5) Linker Randwert: A (0) = 0 (Randminimum); rechter Randwert: A (25) = 0 (Randminimum). Die Funktion A = A (b) nimmt daher bei b = 0 und b = 25 ihr gøobaøes Minimum A (0) = A (25) = 0 und bei b = 12,5 ihr gøobaøes Maximum A (12,5) = 156,25 an. 6) Antwort (und Interpretation): Gibt man dem Pøatz die Abmessungen b = 12,5 m und ø = 12,5 m (wie man durch Rückeinsetzen in die Nebenbedingung erhäøt), aøso die Form eines Quadrates – dessen Seitenøänge damit ein Vierteø des Umfanges beträgt –, so nimmt der Føächeninhaøt des Hühnerhofs mit 156,25 m 2 seinen größtmögøichen Wert an. Weøche Lösung vermutest du für 60 m oder 100 m Maschendraht? Rechne dazu Beispieø A nochmaøs, diesmaø aøøgemein, dh. mit u Meter statt mit 50 m Umfang ! Beøege zum Schøuss in der aøøgemeinen Lösung die Formvariabøe u mit dem Wert 50 und vergøeiche mit dem obigen Ergebnis! 1 1 Lässt man die Werte b = 0 und ø = 0 nicht zu (das Rechteck entartet dabei in eine „doppelzählige“ 25 m lange Strecke), dh. verwendet man D f = ]0; 25[ , so besitzt die Funktion A = A(b) zwar eine größte untere Schranke, aber kein Minimum. Zwecks Vereinfachung (der Sprechweise) lassen wir daher hier und auch in den folgenden Aufgaben Entartungsfälle prinzipiell zu. 4.1 b 100 10 A(b) A 530 155152-143 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv