Reichel Mathematik 7, Schulbuch

142 Einige Anwendungen der Differentialrechnung In diesem Kapitel wirst du deine in Kap. 2 und 3 erworbenen Kompetenzen in der Differentialrechnung auf drei wichtige • Problemkreise (unter vielen anderen) anwenden lernen, nämlich auf Extremwertaufgaben, wo es um das Aufsuchen • optimaler Lösungen für lebensnahe Problem- stellungen und andere geht, auf das näherungsweise Lösen von Gleichungen, für die fertige Formeln (vgl. Kap. 1) fehlen, • auf das Approximieren „komplizierter“ Funktionen durch „einfachere“, insbesondere durch Poly- • nomfunktionen. Vorschau Die im Kap. 2 behandelte Differentialrechnung und die in Kap. 3 behandelten Kurvendiskussionen ha- ben neben den dort angegebenen Anwendungen viele weitere – außermathematische wie auch inner- mathematische. Vier wollen wir im Folgenden behandeln. Bei den so genannten Extremwertaufgaben handelt es sich um eine auf die Ermittlung des Maximums bzw. Minimums einer Funktion eingeschränkte Kurvendiskussion . Beispielsweise kann damit die für jeden umweltbewusst und wirtschaftlich denkenden Menschen wichtige Frage behandelt werden, bei welcher Ge- schwindigkeit v der Treibstoffverbrauch eines PKW minimal bzw. maximal wird – etwa als Antwort auf die Frage, wie weit man mit dem im Tank vorhandenen Treibstoff (auf der Autobahn) noch höchstens bzw. mindestens fahren kann. Überøege! Für den zu Fig. 4.1 gehörigen im 5. Gang fahrenden PKW ist der minimale Verbrauch (und damit die maximale Reichweite) bei etwa v = 80 km/h ( lokales Minimum ) gegeben, der maximale Verbrauch (und damit die minimale Reich- weite) bei (unerlaubten!) v = 220 km/h (rechtes Randextremum ). Die Diagnose des Extremums mittels der zweiten Ableitung als Minimum oder Maximum kann hier wie auch bei den folgenden Aufgaben entfallen, wenn sich die Antwort direkt aus der Problemstellung ergibt. Man sieht: Das ursprünglich praktische Optimierungsproblem lässt sich als konkrete Anwendung (Einkleidung) eines allgemein(er)en, rein geometrischen Problems über den Graphen einer Funktion auffassen. In diesem Sinn besitzen viele der folgenden rein geometrischen Probleme durchaus praktische Bedeutung und Anwendung! In Kap. 4.2 wird ein Verfahren zur näherungsweisen Ermittlung der Nullstellen einer reellen Funktion f (und damit der Lösungen einer Gleichung) vorgestellt, das so genannte NEWTON’sche Näherungsver- fahren. Es stützt sich auf die uns aus Kap. 2.1 bekannte Tatsache, dass die Tangente an f bei x 0 die best- mögliche Approximation von f bei x 0 durch eine lineare Funktion (Polynom 1. Grades) verkörpert. Die naheliegende Weiterentwicklung dieser Idee, nämlich die bestmögliche Approximation von f bei x 0 durch ein Polynom 2. Grades, 3. Grades usw. wird uns im Kap. 4.3 unter dem Titel TAYLOR-Polynome beschäftigen. Damit lässt sich zB die Frage beantworten, wie ein Taschenrechner die Werte der Sinus- funktion berechnet (bzw. berechnen könnte, da oft bessere und vor allem schnellere Approximationen verwendet werden) und wie gut die Approximation sein muss, dh. welchen Grad das TAYLOR-Polynom besitzen muss, damit die sechs oder acht oder zehn Stellen, die der Taschenrechner anzeigt, auch stim- men. In letzter Konsequenz hat man sich so mit Konvergenzproblemen und Problemen der Grenzwert- berechnung auseinanderzusetzen, was uns in Kap. 4.4 zur Regel von l’HOSPITAL führen wird. 4.0 Fig. 4.1 ø/ 100 km v 10 0 100 K 4.1 S 96 Nur zu Prüfz cken – Eigentum des Verlags öbv