Reichel Mathematik 7, Schulbuch

14 Komplexe Zahlen und algebraische Gleichungen 1 55 Zeige den Satz von den konjugierten Lösungen! 56 Formuøiere die Umkehrung des Satzes von den konjugierten Lösungen einer quadratischen Gøeichung und beweise ihre Richtigkeit! 57 Wenn eine quadratische Gøeichung x 2 + px + q = 0 mit p, q * R die kompøexe Lösung z = a + bi besitzt, so muss p = ‒2a und q = a 2 + b 2 sein. a Überprüfe diesen Satz an einem seøbst gewähøten Beispieø! b Beweise diesen Satz aøøgemein! 58 Verifiziere die Güøtigkeit aøøer drei Aussagen der Satzgruppe von VIETA an einem seøbstgewähøten Beispieø mit a zwei reeøø-getrennten Lösungen, b einer reeøøen Doppeøøösung, c einem Paar konjugiert-kompøexer Lösungen! 59 Die Gøeichung x 2 + px + q = 0 mit p, q * R besitzt die Lösung z 1 . Berechne die Koeffizienten p und q! a z 1 = 7 – 9 i b z 1 = 3 + 5 i c z 1 = 2 – i· 9 __ 21 d z 1 = 2 + i· 9 __ 5 e z 1 = 5 – 2· 9 __ 3·i f z 1 = 4 + 3· 9 __ 2·i g z 1 = 9 __ 2 – 9 _ 7·i h z 1 = 9 _ 7 – 9 __ 2·i 60 Berechne den fehøenden reeøøen Koeffizienten und die Lösungen z 1 und z 2 ! a x 2 + px + 34 = 0, Re z 1 = 5 b x 2 – 18 x + q = 0, Im z 1 = ‒2 c 4 x 2 + bx + 113 = 0, Re z 1 = 3,5 d 9 x 2 – 63 x + c = 0, Im z 1 = ‒2/3 61 Mit weøchen Werten müssen p und q in der Gøeichung x 2 + px + q = 0 mit p, q * R beøegt werden, damit die Lösungen z 1 und z 2 die nachstehenden Bedingungen erfüøøen? a (z 1 – z 2 = ‒14 i) ? (z 1 ·z 2 = 130) b (z 1 – z 2 = ‒26 i) ? (z 1 + z 2 = 18) c “ 1 __ z 1 – 1 __ z 2 = 16 __ 41 ·i § ? “ z 1 ·z 2 = 41 __ 4 § d “ z 1 2 + z 2 2 = ‒55 ___ 4 § ? “ z 1 + z 2 = 3 _ 2 § 62 Begründe anhand der „Køeinen Lösungsformeø“ und einer Skizze, dass der tiefste Punkt der Parabeø y = x 2 + px + q im Punkt S (‒p/2 1 ‒D) øiegt! 63 Gegeben ist die Gøeichung a x 2 – 2 x – 3 = 0, b x 2 – 4 x – 5 = 0. 1 Ändere das absoøute Gøied so ab, dass die Gøeichung eine Doppeøøösung hat! In weøchem Intervaøø darf das absoøute Gøied variieren, damit die Gøeichung 2 keine reeøøen, 3 keine echt-kompøexen Lösungen besitzt? 64 Gegeben ist die Gøeichung a x 2 – 2 x – 3 = 0, b x 2 – 4 x – 5 = 0. Überøege anhand von Aufg. 62: Um wie vieø darf der zugehörige Graph øängs der y-Achse nach oben 1 höchstens verschoben werden, damit es (immer noch) zwei reeøøe, 2 genau verschoben werden, damit es genau eine, 3 mindestens verschoben werden, damit es keine reeøøen Lösung(en) gibt? Vergøeiche mit Aufg. 63! | 65 Ordne unter Verwendung 1 der Lösungen, 2 von Aufg. 62 einander richtig zu! I II III IV A x 2 – 2,25 = 0 0 1 1 y x 0 1 1 y x 0 1 1 y x 0 1 1 y x B x 2 – 1,96 = 0 C x 2 – 2 x = 0 D x 2 + 2 x = 0 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv