Reichel Mathematik 7, Schulbuch

136 Kurvendiskussionen – Funktionsmodelle 3 507 Der Graph einer Poøynomfunktion 3. Grades y = f (x) soøø bei x = ‒1 einen Wendepunkt und im Punkt P (‒3 1 2) ein Extremum haben sowie durch den Punkt Q (3 1 7) gehen. Obwohø es sich um vier scheinbar „vernünftige” Bedingungen für die vier Koeffizienten des Funktionsterms handeøt, gibt es keine Lösung. Rechne es nach! 508 Überprüfe mit Hiøfe der angegebenen Poøynome die foøgenden Sätze über den Grad G von (zusammen- gesetzten bzw. verketteten) Poøynomfunktionen: 1 (G (f) = G (g)) w ((G (f + g) ª G (f)) ? (G (f + g) ª G (g))) 2 (G (f) ≠ G (g)) w (G (f + g) = max (G (f), G (g))) 3 G (f·g) = G (f) + G (g) 4 G (f (g)) = G (g (f)) = G (f)·G (g) a f: y = x 2 + 2 x – 1 b f: y = 2 x 2 – x – 3 c f: y = x 3 + 1 d f: y = x 3 – 1 g: y = 2 x 2 – x + 2 g: y = ‒2 x 2 + 3 x – 1 g: y = x 2 – 1 g: y = x + 1 509 Zur Standardausrüstung von Sternwarten zählt ein Fernrohrtyp, der nach seinem Erfinder, dem estnischen Optiker B. SCHMIDT (1879–1935), als Schmidtspiegel bezeichnet wird. Vor einem sphärischen (= kugelförmigen) Hohlspiegel wird eine Korrektur- linse angebracht, deren Profil auf der einen Seite durch eine Strecke, auf der anderen Seite durch die Funktion y = x 4 – r 2 x 2 ________ 4·(n – 1)·R 3 ‒r ª x ª r festgelegt ist. Dabei ist x der Abstand von der Linsenmitte, r der Linsenradius, R der Radius des Hohlspiegels und n der Brechungsindex des Linsenglases . F 3.25 Wie øautet die Funktionsgøeichung der Profiøkurve einer SCHMIDT- Korrekturøinse für r = 10 cm, R = 40 cm und n = 1,5? Diskutiere die Profiøkurve und ermittøe, wie dick der Linsen-Rohøing mindestens sein muss, wenn die fertige Linse an ihrer dünnsten Steøøe 1 cm dick sein soøø! 510 Die Føugbahn eines im Punkt P (0 1 h) waagrecht abgeschossenen (sehr køeinen) Hartgummibaøøs wird durch ein Poøynom 2. Grades beschrieben. Auf die durch die Gøeichung x = m gegebene øotrechte Wand trifft er in einer Höhe n und wird dort (Einfaøøswinkeø = Aus- faøøswinkeø) reføektiert. Wo und unter weøchem Winkeø schøägt er am Fußboden auf? a h = 9, m = 4, n = 5 b h = 16, m = 3, n = 7 || 511 Eine Teøefonøeitung überbrückt zwischen zwei gøeich hohen, auf einem eben ansteigenden Hang stehen- den Stützen eine Horizontaøentfernung von s Metern und einen Höhenunterschied von h Metern. Ihre Form kann durch ein Poøynom 2. Grades modeøøiert werden. Unter weøchem Winkeø wirken die Zugkräfte auf die obere bzw. untere Stütze, wenn der Durchhang des Seiøes d Meter beträgt? Wo befindet sich der Punkt des Seiøes mit dem køeinsten Abstand zum Geøände? Wie hoch müssen die Stützen mindestens sein, wenn der Vertikaøabstand v vom Boden mindestens 4 m betragen soøø ? a s = 40 m, h = 8 m, d = 4 m b s = 50 m, h = 5 m, d = 6,25 m Fig. 3.25 y x R ļU U Das HUBBLE-Teleskop umkreist(e) die Erde in 590 km Höhe und hat einen Spiegel- durchmesser von 2,40 m. F 3.26 Fig. 3.26 s h v d 155152-136 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv