Reichel Mathematik 7, Schulbuch

134 Kurvendiskussionen – Funktionsmodelle 3 5. In Kurvenpaaren, Kurvenscharen und Funktionenklassen denken Bei Wurzelfunktionen hat man daran zu denken, dass die Wurzel in R eindeutig ist! Erøäutere, dass y = 9 ____ sinx und y 2 = sinx nicht die gøeiche Kurve beschreiben! Fig. 3.24a x y 1 0 1 Fig. 3.24b x y 1 0 1 Man sieht: y 2 = sin x ist die gemeinsame Beschreibung des durch y = + 9 ____ sin x und y = ‒ 9 ____ sin x beschriebe- nen Funktionenpaares. Beschreibungen dieser Art sind implizite Darstellungen mehrer zusammenge- höriger Funktionen. In Kap. 5 werden wir ihnen bei der Beschreibung von Kreisen, Ellipsen usw. auf Schritt und Tritt begegnen. Neben der eben besprochenen Beschreibung von Funktionenpaaren stützt sich die gemeinsame Defini- tion mehrerer Funktionen üblicherweise auf Formvariable (Parameter). Man spricht in diesem Zusam- menhang von Kurvenscharen . So beschreibt zB y = a·sin x , a * R , unendlich ( • 1 ) viele Funktionen, de- ren Graphen sich alle aus dem Graphen der Sinusfunktion durch Streckung (Stauchung) parallel zur y -Achse gewinnen lassen (vgl. Buch 6. Kl. S. 255). Die Kenntnis (des Graphen) der Grundfunktion y = sin x kann bei der Diskussion von zB y = 2·sin x oder auch y = 9 ______ 1 – sin x usw. viel Arbeit ersparen! Die obigen Aussagen über die stetige Differenzierbarkeit von Funktionen sind Aussagen über (unend- lich-parametrige) Kurvenscharen, so genannte Funktionenklassen , wie zB die Klasse der Polynomfunk- tionen. Unsere in den Kap. 3.2 bis 3.5 vertieften Kenntnisse über die (grundlegenden) Eigenschaften die- ser Funktionen(klassen) gibt uns Sicherheit im Umgang mit ihnen. Auf diese Kenntnisse stützt man sich insbesondere dann, wenn man reale Phänomene durch (möglichst einfache und doch passende) Funkti- onen modellieren will. In einer ersten Phase wählt man einen „passenden“ Funktionstyp, also zB den Typ Winkelfunktionen zum Modellieren eines periodischen Vorgangs („Schwingung“) oder den Typ Ex- ponentialfunktionen zum Modellieren eines Wachstumsprozesses. In einer zweiten Phase hat man dann innerhalb dieser Klasse eine „passende“ Kurve zu spezifizieren, also aus einer (ein- oder auch mehrpa- rametrigen) Schar von Funktion(sgraph)en jene Scharkurven „herauszupicken“, welche die geforderten metrischen Eigenschaften besitzen. Mathematisch führte dies auf das Lösen von Gleichungssystemen für die unbekannte(n) Formvariable(n), also auf die so genannten Umkehraufgaben . 489 Diskutiere die Funktion f gemäß 1 dem Baukastenprinzip (Handskizze), 2 der übøichen Kurven- diskussion! a f: y = sin † x † b f: y = tan † x † c f: y = † sin x † d f: y = † tan x † e f: y = 1/sin 2 x f f: y = 1/cos 2 x 490 Diskutiere die Funktion f gemäß 1 dem Baukastenprinzip (Handskizze), 2 der übøichen Kurven- diskussion! Ermittøe insbesondere die Gøeichungen der beiden durch den Ursprung øaufenden schrägen Asymptoten! a f: y = 9 ____ x 2 – 4 b f: y = 9 ____ x 2 + 4 491 Winkeøfunktionen sind die erste Wahø beim Modeøøieren von periodischen Vorgängen. Warum? Sind Funktionen, die sich nur aus Winkeøfunktionen aufbauen, immer periodisch? 492 Überøege und begründe das Aussehen des Graphen von f und fertige eine Handskizze an! a f: y = sin x 2 b f: y = cos x 2 F 3.24a F 3.24b Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv