Reichel Mathematik 7, Schulbuch

133 3.7 Rückblick und Ausblick 3 Beispiel K (Fortsetzung) Biøde die Funktion f: R ¥ R , y = 9 ______ 1 – sinx gemäß dem Baukastenprinzip! Lösung: Wir gehen schrittweise vor. Zunächst zeichnen wir den Graphen von y = sinx, dann den von y = 1 – sinx, indem wir den Graphen von y = sinx an der x- Achse spiegeøn und anschøießend um eine Einheit „nach oben“ verschieben. Zuøetzt ziehen wir (an einigen markanten Steøøen) die Wurzeø aus den Funktionswerten und verbinden die so ge- wonnenen Punkte. Offensichtlich muss man aber über ein Repertoire von „Grundfunktionen“ verfügen, um das Baukasten- prinzip für die Diskussion (Analyse wie Synthese) von (neuen) Funktionen nützen zu können. 4. Sätze über die Vererbung von Funktionseigenschaften kennen Bei Anwendung des Baukastenprinzips ist natürlich interessant, ob und wie sich die Eigenschaften der einzelnen Bausteine auf die Eigenschaften des Bauwerks „vererben“. Für die Stetigkeit haben wir diese Frage schon in der 6. Klasse in Form des Stetigkeitsübertragungssatzes beantwortet. In analoger Weise gilt in Zusammenfassung der Summen-, Differenzen-, Produkt-, Quotienten- und Kettenregel der Satz Differenzierbarkeitsübertragungssatz: Die Verknüpfung differenzierbarer Funktionen øiefert dort, wo sie überhaupt definiert ist, eine differenzierbare Funktion. Mittels dieses Satzes kann man aus der (unzweifelhaft in ganz R gegebenen) Differenzierbarkeit der konstanten Funktion und der linearen Funktion durch Produktbildung (vgl. den Satz von VIETA) die Dif- ferenzierbarkeit jeder beliebigen Polynomfunktion begründen. Auf ähnliche Art und Weise beweist man : Satz Die foøgenden (Køassen von) Funktionen sind im jeweiøigen Definitionsbereich differenzierbar: Poøynomfunktionen Winkeøfunktionen Rationaøe Funktionen Exponentiaøfunktionen und Logarithmusfunktionen Da die Ableitungsfunktion einer Polynomfunktion (rationalen Funktion bzw. Winkelfunktion) wieder eine Polynomfunktion (rationale Funktion bzw. Winkelfunktion) und damit stetig ist, besitzen die genannten Funktionen durchwegs stetige Ableitungsfunktionen. Man sagt: Sie sind stetig differenzier- bare Funktionen . Von diesem Sachverhalt haben wir in den Kap. 3.1 bis 3.5 profitiert, als wir den Begriff „lokales Extre- mum“ anschaulich an die Existenz einer waagrechten Tangente banden, weil eben die Existenz dieser Tangente durch die Differenzierbarkeit der Funktion garantiert war. Hat man jedoch die lokalen Extrema (und Wendepunkte) von Funktionen zu ermitteln, die an gewissen Stellen 1 nicht (stetig) differenzierbar sind, so können die Bedingungen aus Kap. 3.1 dort nicht verwen- det werden, weil ihre Voraussetzungen nicht erfüllt sind. In Kap. 3.6 haben wir diese Bedingungen da- her durch solche mit „schwächeren“ Voraussetzungen ersetzen müssen. Solche Bedingungen benötigt man zB bei stückweise definierten Funktionen sowie bei vielen Funktionen, deren Termdarstellung Be- tragsstriche bzw. Wurzelzeichen enthalten. 1 Es gibt Funktionen, die in keinem einzigen Punkt ihres Definitionsbereiches differenzierbar sind ! x y 1 0 1 y = 1 – sinx y = 1 y = sinx y = 1 – sinx K 2.4 A 504 S 45 A 505 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv