Reichel Mathematik 7, Schulbuch

132 Kurvendiskussionen – Funktionsmodelle 3 2. Den Schnittwinkel zweier Kurven definieren und berechnen Die Definition des Schnittwinkels zweier (zB als Funktionsgraphen gegebener krummer) Kurven ist nur durch Rückgriff auf die Tangenten möglich, die ihrerseits in Kap. 2 mittels der Differentialrechnung de- finiert wurden. Definition Aøs Schnittwinkeø zweier Kurven in deren Schnittpunkt S bezeichnet man den Winkeø der zugehörigen Kurven(haøb)tangenten in S. Hat der Schnittwinkeø die Größe 0°, so sagt man: die beiden Kurven berühren einander. Bemerkung: Zum Problem des Berührens von Kurven siehe insbesondere Kap. 4.3 und 5.7.4. Beispiel K (Fortsetzung) Weøchen Winkeø schøießen die Haøbtangenten in den „Ecken“ der Funktion f: y = 9 ______ 1 – sinx ein? Lösung: Von S. 122 wissen wir: Die Funktion hat zB bei x = π /2 eine Ecke; die øinke Haøbtangente hat die Steigung k 1 = ‒ 9 __ 2/2, die rechte die Steigung k 2 = 9 __ 2/2. Aus den zugehörigen Richtungsvektoren (1 1 k 1 ) und (1 1 k 2 ) erhäøt man mitteøs der VW-Formeø (vgø. Buch 6. Kø. S. 18) cos φ = “ 1 ‒ 9 __ 2/2 § · “ 1 9 __ 2/2 § __________ 9 ____ 1 + 2/4· 9 __ 1 + 2/4 = 1 – 2/4 ____ 1 + 2/4 = 1 _ 3 w φ = 70,53° Da es sich (Figur) um eine stumpfe Ecke handeøt, ist der Winkeø dort 180° – φ = 109,47° 3. Funktionen mittels des Baukastenprinzips diskutieren Steht kein Computer zur Verfügung, so kann man sich mittels des Baukastenprinzips (vgl. Buch 6. Kl. S. 253) und Überlegungen zum asymptotischen Verhalten der Funktion einen ersten Eindruck verschaffen und in einer Handskizze niederlegen. Wie wir bereits wissen, verhält sich eine Polynomfunktion f: y = a n x n + … + a 0 (a n ≠ 0) für x ¥ • und x ¥ ‒ • im Wesentli- chen so wie die zugehörige Potenzfunktion a: y = a n x n . Die „Rest“-Funktion y = a n – 1 x n – 1 + … + a 0 ist für die „wellenförmi- ge“ Abweichung der Funktion f von der Funktion a verant- wortlich. Eine rationale Funktion f: y = p (x)/q (x) verhält sich für x ¥ • und x ¥ ‒ • im Wesentlichen so wie jene Polynomfunktion (ganzrationale Funktion) a: y = a (x) , die als Quotient der Poly- nomdivision p (x)/q (x) auftritt. Die echt-gebrochen rationale Funktion r (x) , die als Restfunktion der Polynomdivision p (x)/q (x) auftritt, ist für die Abweichung der Funktion f von der asymptotischen Funktion a verantwortlich. Umgekehrt lässt sich jede rationale Funktion f an jeder Stelle x durch Addition der Funktionswerte a (x) und r (x) ermitteln. Mit anderen Worten: Die gegebene Funktion f ist die Summen- funktion der asymptotischen Funktion a und der „Restfunkti- on“ r . Sind a und r zwei gegenüber f „einfache“ Funktionen, so ist die folgende Vorgangsweise naheliegend: Man zerlegt zu- nächst f in die Funktionen a und r (Analyse) und setzt aus die- sen die Funktion f als Summenfunktion von a und r zusam- men (Synthese) . x 109,47° 70,53° Fig. 3.22 x y 1 0 1 a: y = a 4 . x 4 f: y = a 4 . x 4 + r(x) Fig. 3.23 x y 1 0 1 a: y = x+ 1 r: y = x–1 2 f: y = x 2 +1 x–1 = a + r = = x + 1 + x–1 2 F 3.22 F 3.23 F 3.23 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum de Verlags öbv