Reichel Mathematik 7, Schulbuch

131 3.7 Rückblick und Ausblick 3 Rückblick und Ausblick 1. Über Sinn und Zweck von Kurvendiskussionen im Computerzeitalter Bescheid wissen Blicken wir zurück: In diesem Abschnitt haben wir erfahren, wo und wie die Differentialrechnung bei der Ermittlung der Eigenschaften und des Graphen einer Funktion genützt werden kann. Diese Art der Kurvendiskussion hat zwar im Zeitalter des Computers an Bedeutung verloren, ist aber keineswegs un- wichtig geworden. Zugegeben: Schon sehr einfache und allgegenwärtige Programme (wie zB Excel) ge- statten es, den Graphen einer Funktion punktweise bzw. als Polygon zu zeichnen und aus diesem die Ei- genschaften der Funktion (grob) „herauszulesen“. Um aber die genaue Lage von Nullstellen, von lokalen Extrema und von Wendepunkten festzustellen, muss man im Allgemeinen die Gleichungen y’ = 0 , y’’ = 0 und y’’’ = 0 lösen. Abgesehen davon verarbeiten diese Programme Sprungstellen, Polstellen, Knick- stellen usw. vielfach nicht richtig. Ein typisches Beispiel zeigt Fig. 3.20a. Vergøeiche den Computergraphen (wie er offensichtøich bei ungeschickter Wahø der Parameter ent- stehen kann) mit dem korrekten Graphen und erøäutere, wo und wodurch der Fehøer passiert! Fig. 3.20a Fig. 3.20b x y 1 0 1 Gerade solche Sprungstellen, Polstellen oder Knickstellen sind aber oft besonders bedeutsam. An ihnen haben sich – wie die Geschichte vieler Wissenschaften lehrt – häufig tiefliegende Einsichten entwi- ckelt. Ein Beispiel hiefür liefert der Begriff der Schmelzwärme. Erøäutere anhand von Fig. 3.21, dass die Temperatur erst wieder steigt, wenn das Eis zur Gänze geschmoøzen ist! Fig. 3.21 E T °C 0 Der Sinn von Kurvendiskussionen besteht also nicht (allein) darin, vorgegebene Funktionen zu diskutie- ren, sondern auch ein Gespür für Funktionen(klassen) zu entwickeln, was insbesondere beim Modellie- ren nötig ist. So wie der Taschenrechner Kopfrechnen, Schätzen und ein Gefühl für Größenordnungen nicht ersetzen kann und soll, so können aktuelle Programme und Geräte die höherwertigen Kompeten- zen beim Diskutieren von „Kurven“ nicht ersetzen! Mit einfachen Computerprogrammen kann man sich zwar einen guten ersten Eindruck vom Graphen und den Eigenschaften einer Funktion verschaffen, aber erst mit Mitteln der Kurvendiskussionen kann man die vermuteten Eigenschaften beweisen (oder widerlegen) sowie exakt lokalisieren. Darüber hinaus kann man manche Probleme im Zusammenhang mit Kurven überhaupt erst mit Hilfe der Differentialrechnung begrifflich wie rechnerisch lösen. Dazu gehört etwa die Definition und Berechnung des Schnittwinkels zweier Kurven. 3.7 F 3.20b Nur zu P üfzwecken – Eigentum des Verlags öbv