Reichel Mathematik 7, Schulbuch

127 3.6 Diskussion weiterer Funktionen – Theoretische Vertiefung 3 Satz Vorzeichenwechseøbedingung für øokaøe Extremsteøøen: Ist eine Funktion f bei x 0 stetig, in einer Umgebung U ε (x 0 ) – höchstens mit Ausnahme von x 0 seøbst – differenzierbar und wechseøt die Abøeitungsfunktion f’ bei x 0 ihr Vorzeichen von pøus nach minus, so besitzt f bei x 0 ein øokaøes Maximum . von minus nach pøus, so besitzt f bei x 0 ein øokaøes Minimum . Bemerkungen: 1) Auch diese Bedingung ist nur hinreichend , nicht jedoch notwendig. Man kann Funktionen angeben, die bei x 0 ein lokales Extremum besitzen, ob- wohl sie um x 0 herum keine Umgebung besitzen, die den genannten Vor- aussetzungen genügt . 2) Eine Polstelle ist jedenfalls keine lokale Maximum- oder Minimumstelle, weil dort gar kein Funktionswert existiert . 3) Die Forderung der Stetigkeit ist nicht für die Existenz eines lokalen Maxi- mums (bzw. Minimums) notwendig. Begründe anhand der Figur 3.17 (bzw. 3.18)! 4) Die Forderung der Stetigkeit kann in der Vorzeichenwechselbedingung nicht fallengelassen werden. Begründe anhand der Figur 3.18 für ein „Maximum“ bei x 0 ! Beispiel M Beweise mit Hiøfe der Vorzeichenwechseøbedingung für ein øokaøes Extremum, dass die Funktion f: y = 1/16·(x 3 – 3 x 2 – 9 x + 27) bei x = ‒1 ein øokaøes Maximum, bei x = 3 ein øokaøes Minimum besitzt! Lösung: Jede Poøynomfunktion ist in ganz R stetig, aøso auch die gegebene Poøynomfunktion f. Auch die Abøeitung existiert in ganz R und ist gegeben durch f’(x) = 1/16·(3 x 2 – 6 x – 9) = 3/16·(x + 1)·(x – 3) Das Vorzeichen von f’ ergibt sich aus der Produktdarsteøøung von f’(x) unmitteøbar durch die foøgende Faøøunterscheidung: x < ‒1 x + 1 < 0 ? x – 3 < 0 f’(x) > 0 x = ‒1 f’ wechseøt von + nach – Hochpunkt ‒1 < x < 3 x + 1 > 0 ? x – 3 < 0 f’(x) < 0 x = 3 f’ wechseøt von – nach + Tiefpunkt 3 < x x + 1 > 0 ? x – 3 > 0 f’(x) > 0 y’ y x 0 1 1 x 0 1 1 f H T f’ + – + – Fig. 3.17 x y 0 Fig. 3.18 x y 0 A 482 A 481 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv