Reichel Mathematik 7, Schulbuch

126 Kurvendiskussionen – Funktionsmodelle 3 Beispiel L (Fortsetzung) Zeige mit Hiøfe der Bedingung von S. 96, dass die Funktion f: y = 1/8·(x 3 – 12 x) bei x 0 = 2 ein øokaøes Minimum besitzt! Lösung: f’: y = 1/8·(3 x 2 – 12) und f’’: y = 1/8·6 x f’(2) = 1/8·(12 – 12) = 0, die Tangente ist bei x 0 = 2 waagrecht f’’(2) = 1/8·12 > 0, der Graph ist bei x 0 = 2 positiv gekrümmt w Beh. Der Unterschied im Arbeitsaufwand in Beispiel L und dessen Fortsetzung resultiert daher, dass beim Rückgriff auf die Definition auf S. 124 überhaupt kein Gebrauch davon gemacht wird, dass f eine zwei- mal stetig differenzierbare Funktion ist. Dass – und inwieweit – letztere Eigenschaft bereits die in der Definition auf S. 127 an ein lokales Extremum geforderten Eigenschaften „sicherstellt“, zeigt der nach- folgende Beweis für die auf S. 96 angegebene Bedingung, die wir nun wie folgt präzisieren: Satz Hinreichende Bedingung für øokaøe Extrema einer zweimaø stetig differenzierbaren Funktion: Besitzt f eine bei x 0 stetige zweite Abøeitung f’’ und giøt f’(x 0 ) = 0 ? f’’(x 0 ) < 0 so besitzt f bei x 0 ein øokaøes Maximum . f’(x 0 ) = 0 ? f’’(x 0 ) > 0 so besitzt f bei x 0 ein øokaøes Minimum . Beweis: Wir beschränken uns auf den Fall eines lokalen Maximums; für ein lokales Minimum verläuft der Beweis analog . Verfoøge den Beweis an einer Skizze! Da f’’ an der Stelle x 0 stetig und kleiner als 0 ist, gibt es eine Umgebung U ε (x 0 ) , in der f’’(x) < 0 ist. Dar- aus folgt, dass f’(x) in U ε (x 0 ) streng monoton fällt. Wenn aber f’ in U ε (x 0 ) streng monoton fällt und bei x 0 nach Voraussetzung den Wert 0 hat, so ist f’(x) positiv für alle x * U ε (x 0 ) , die kleiner als x 0 sind, und negativ für alle x * U ε (x 0 ) , die größer als x 0 sind. Für die Funktion f bedeutet das, dass sie für alle x * U ε (x 0 ) , die kleiner als x 0 sind, streng monoton wächst, und für alle x * U ε (x 0 ) , die größer als x 0 sind, streng monoton fällt. Folglich gilt für alle x * U ε (x 0 ) , die von x 0 verschieden sind, f (x) < f (x 0 ) , und dies ist ja gerade die Definition eines lokalen Maximums. Bemerkungen: 1) Beachte: Die obige Bedingung ist eine hinreichende Bedingung . Dh., sind die Voraussetzungen er- füllt, so folgt daraus zwingend die Existenz eines lokalen Extremums. Sind die Voraussetzungen nicht erfüllt, so ist keine Aussage möglich. Mit anderen Worten: Eine Funktion f , die bei x 0 die Vorausset- zungen nicht erfüllt, kann dort durchaus ein lokales Extremum besitzen . 2) Die Bedingung f’(x 0 ) = 0 alleine ist eine notwendige Bedingung für ein lokales Extremum einer diffe- renzierbaren Funktion (Beweis in Aufg. 484). Dh., nur dort, wo f’(x 0 ) = 0 gilt, kann eine differenzierba- re Funktion ein lokales Extremum besitzen, es muss dort aber kein lokales Extremum vorliegen . Die Bedingung f’(x 0 ) = 0 allein kann also nur dazu dienen, alle Stellen einer differenzierbaren Funk- tion „herauszufiltern“, an denen überhaupt ein lokales Extremum liegen kann. 3) Im Titel der obigen Bedingung wird gefordert, dass f bei x 0 zweimal stetig differenzierbar ist, womit man meint, dass bei x 0 die 1. und die 2. Ableitungsfunktion existieren und bei x 0 stetig sind. In den Voraussetzungen der Bedingung steht jedoch nur, dass f’’ bei x 0 stetig ist. Dieser scheinbare Wider- spruch findet seine Erklärung darin, dass eine differenzierbare Funktion automatisch stetig ist (vgl. S. 84). Da f’ laut Voraussetzung zu f’’ ableitbar sein muss, ist f’ automatisch stetig. Für f’’ gilt dies nicht, weil ja die Existenz der 3. Ableitung bei x 0 nicht gefordert wird. Die Stetigkeit von f’’ muss da- her (falls gewünscht) extra gefordert werden. Viele der für die Praxis bedeutsamen Funktionen – insbesondere die in Kap. 3.2 bis 3.4 behandelten rationalen Funktionen (samt den in ihnen enthaltenen Polynomfunktionen) und die Winkelfunktionen – sind in ihrem ganzen Definitionsbereich zweimal stetig differenzierbar. Ist dies (an einzelnen Stellen x 0 ) nicht der Fall, so verwendet man zB den folgenden Satz: A 487 A 479a A 486 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv