Reichel Mathematik 7, Schulbuch

125 3.6 Diskussion weiterer Funktionen – Theoretische Vertiefung 3 Bemerkungen: 1) Diese Definition garantiert, dass das lokale Extremum in einem einzigen Punkt von U ε (x 0 ) , nämlich bei x 0 selbst, angenommen wird. 2) Der Zusatz „lokal“ 1 weist darauf hin, dass das Verhalten von f außerhalb der betrachteten Umge- bung U von x 0 belanglos ist. 3) Die in der 5. Klasse definierten Begriffe Maximum und Minimum einer Funktion bezeichnen wir nun zwecks deutlicherer Unterscheidung von den lokalen Extrema als globales Maximum max f und globales Minimum min f . 4) Beachte, dass gemäß dieser Definition die konstante Funktion y = d weder ein lokales Maximum noch ein lokales Minimum besitzt, obwohl sie mit max f = d und min f = d sowohl ein globales Maxi- mum als auch ein globales Minimum besitzt. Begründe! 5) Gemäß dieser Definition sind auch Randextrema lokale Extrema. Allerdings existiert dort die Um- gebung U ε (x 0 ) nur „halbseitig“. Erøäutere! 6) Die Differenzierbarkeit von f bei x 0 wird nicht gefordert. Diese Definition weist somit (nicht überall differenzierbaren) Funktionen an Stellen x 0 wie in Fig. 3.15b oder 3.15c ein lokales Maximum (bzw. Minimum) zu . Fig. 3.16 x y 1 1 0 lokales Minimum Randminimum lokales Maximum Randmaximum Vor- und Hauptgipfel Beispiel L Beweise mitteøs der Definition, dass f: y = 1/8·(x 3 – 12 x) bei x 0 = 2 ein øokaøes Minimum besitzt! Gib eine geeignete Umgebung U e (x 0 ) an! Lösung: Definitionsgemäß muss geøten: f (x) > f (x 0 ) 1/8·(x 3 – 12 x) > 1/8·(2 3 – 12·2) x 3 – 12 x + 16 > 0 Wir steøøen das Poøynom x 3 – 12 x + 16 gemäß Kap. 1.3 aøs Produkt seiner Linearfaktoren (x + 4)·(x – 2)·(x – 2) dar und erhaøten (x + 4)·(x – 2) 2 > 0 Nun ist aber (x – 2) 2 aøs Quadrat einer reeøøen Zahø stets nicht- negativ und wegen der Voraussetzung x ≠ x 0 (= 2) sogar stets positiv. Die Division der Ungøeichung durch (x – 2) 2 øiefert daher die äquivaøente Ungøeichung: x + 4 > 0 Man sieht (in Übereinstimmung mit der Figur): Für aøøe x > ‒4 ist die Bedingung f (x) > f (x 0 ) erfüøøt (mit Ausnahme von x = 2 = x 0 ). Demgemäß ist U ε (x 0 ) = ]2 – ε ; 2 + ε [ für zB ε = 1 oder ε = 2 – aøøgemein für 0 < ε ª 6 – eine Umgebung, wie sie in der Definition des øokaøen Minimums gefordert wird. 1 locus (lat.) … Ort, Stelle F 3.16 A 475 y x 1 0 1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv