Reichel Mathematik 7, Schulbuch

124 Kurvendiskussionen – Funktionsmodelle 3 2. Definitionen und Bedingungen für lokale Extremwerte kennen In Kap. 3.1 haben wir bereits Bedingungen besprochen, die lokale Extremwerte offenbar charakterisie- ren. Wir wollen die damaligen – an einem Ballonflug veranschaulichten – Überlegungen ebenso an- schaulich weiterführen. In weøcher der Fig. 3.15 würdest du x 0 aøs øokaøe Maximumsteøøe bezeichnen? Fig. 3.15a x x 0 Fig. 3.15b x x 0 Fig. 3.15c x 0 x Rein anschaulich sind alle Stellen x 0 in einer (nicht zu großen) Umgebung von x 0 „maximal“; man sagt: sie sind lokal maximal. Allerdings steht dies zu unserer bisherigen Auffassung, dass eine lokale Maxi- mumstelle sich durch eine waagrechte Tangente auszeichnet, im Widerspruch, weil die Funktionen in Fig. 3.15b und Fig. 3.15c bei x 0 gar keine Tangente besitzen. Die auf S. 96 genannte Bedingung für ein lo- kales Maximum kann daher nicht zur allgemeinen Kennzeichnung eines lokalen Maximums verwendet werden. Naheliegend ist die folgende Kennzeichnung: Eine Stelle x 0 * D f heißt lokale Maximumstelle bzw. lokale Minimumstelle von f , wenn es eine Umge- bung U ε (x 0 ) gibt, sodass für alle x * U ε (x 0 ) gilt: f (x) ª f (x 0 ) bzw. f (x) º f (x 0 ) . Durch diese – in vielen Lehrbüchern gegebene – Definition werden die in Fig. 3.15a–c dargestellten Fälle wie gewünscht als lokale Maxima (an)erkannt und ebenso wird die in Fig. 3.15d dargestellte Pol- stelle wunschgemäß nicht als lokales Maximum akzeptiert . Fig. 3.15d x 0 x Fig. 3.15e x 1 x 2 x Allerdings wird in Fig. 3.15e der Funktion f bei x 1 und x 2 ein lokales Maximum, bei jedem dazwischen- liegenden x 3 hingegen sowohl ein lokales Maximum als auch ein lokales Minimum ausgewiesen, obwohl f (x 1 ) = f (x 2 ) = f (x 3 ) gilt. Begründe! Man sieht: Die obige (fachlich einwandfreie) Definition ist mit unse- rer bisherigen naiven Vorstellung eines lokalen Maximums bzw. Minimums nicht ganz vereinbar. Besser vereinbar ist die folgende Definition Es sei f eine reeøøe Funktion mit der Definitionsmenge D f . Eine Steøøe x 0 * D f heißt øokaøe Maximumsteøøe, wenn es eine Umgebung U ε (x 0 ) ² D f mit ε > 0 gibt, sodass für aøøe von x 0 verschiedenen x * U ε (x 0 ) giøt: f (x) < f (x 0 ) f (x 0 ) heißt øokaøes Maximum von f, der Punkt H (x 0 1 f (x 0 )) Hochpunkt des Graphen von f. Eine Steøøe x 0 * D f heißt øokaøe Minimumsteøøe, wenn es eine Umgebung U ε (x 0 ) ² D f mit ε > 0 gibt, sodass für aøøe von x 0 verschiedenen x * U ε (x 0 ) giøt: f (x) > f (x 0 ) f (x 0 ) heißt øokaøes Minimum von f, der Punkt T (x 0 1 f (x 0 )) Tiefpunkt des Graphen von f. A 483 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des V rlags öbv