Reichel Mathematik 7, Schulbuch

123 3.6 Diskussion weiterer Funktionen – Theoretische Vertiefung 3 Die Lösungen x = 3 π /2 + k·2 π , k * Z hingegen führen zu den in der Figur ersichtøichen Hochpunk- ten: y’’(3 π /2 + k·2 π ) = ‒ 9 __ 2/4 < 0 w x = 3 π /2 + k·2 π , k * Z ist eine øokaøe Maximumsteøøe y (3 π /2 + k·2 π ) = 9 __ 2 w Hochpunkt H (3 π /2 + k·2 π1 9 __ 2) 4) Wendesteøøen: y’’ = 0 = 1/4· 9 ______ 1 – sinx w sinx = 1 x = π /2 = x = 5 π /2 = … Aøøgemein: x = π /2 + k·2 π , k * Z Das Ergebnis steht scheinbar im Widerspruch zur Figur, wo – zu Recht – keine Wendepunkte zu sehen sind. Der Widerspruch zu unserer Rechnung køärt sich auf, wenn man beachtet, dass f’’ bei π /2 + k·2 π nicht definiert ist, weiø dort der Nenner ebenfaøøs den Wert 0 annimmt. Man sieht dies aøøerdings nur vor dem Kürzen durch 9 ________ (1 – sinx) 3 , weiø diese Definitionsøücken beim Kürzen ver- øorengehen (vgø. Buch 6. Kø. S. 247). Es gibt aøso keine Wendesteøøen! 5) Monotonieverhaøten (für einen der periodischen Bögen): 0 < x < π /2 x = π /2 π /2 < x < 3 π /2 x = 3 π /2 3 π /2 < x < 5 π /2 f’(x) < 0 – > 0 = 0 < 0 f S H Man sieht: Die Hochpunkte H und die Spitzen S zerøegen den Graphen von f in streng monoton faøøende ( ) Stücke und in streng monoton steigende ( ) Stücke. 6) Krümmungsverhaøten: Es existieren keine Wendepunkte. Die Funktion ist überaøø negativ gekrümmt (f’’ ist ja überaøø – außer bei den Spitzen, wo ein unbestimmter Ausdruck auftritt – negativ). 7) Asymptotisches Verhaøten: øim x ¥ • f (x) existiert nicht, ebenso nicht øim x ¥ ‒ • f (x). 8) Graph: siehe oben! 9) Symmetrie: Wir vermuten, dass die zur y-Achse paraøøeøe Gerade x = π /2 durch die Spitze S( π /2 1 0) Symmetrieachse des Graphen von f ist. Beim Beweis verwenden wir wieder die Symmetrie- bedingungen von S. 103 und die Reduktionsformeøn (vgø. Buch 5. Kø. S. 206): I) m = π _ 2 = x + _ x ___ 2 w _ x = π – x II) f ( _ x) = 9 ______ 1 – sinx = 9 __________ 1 – sin ( π – x) = 9 ______ 1 – sinx = f (x) In anaøoger Weise kann man zeigen, dass jede zur y-Achse paraøøeøe Gerade durch eine Spitze von f Symmetrieachse des Graphen von f ist. Darüber hinaus kann man in anaøoger Weise zeigen, dass jede zur y-Achse paraøøeøe Gerade durch einen Hochpunkt von f Symmetrieachse des Graphen von f ist. f besitzt aøso unendøich vieøe Symmetrieachsen! 10) Die Funktion ist offensichtøich periodisch mit der primitiven Periodenøänge p = 2 π . Beim Beweis stützen wir uns auf die Definition der Periodizität f (x + p) = f (x) (vgø. Buch 6. Kø. S. 233): f (x + p) = f (x + 2 π ) = 9 ___________ 1 – sin(x + 2 π ) = 9 ______ 1 – sinx = f (x) Vergøeiche die Bedeutung der Spitzen in Beispieø K mit der Bedeutung øokaøer Extremwerte! Was fäøøt dir auf? Man sieht: Die Spitzen des Graphen der Funktion f in Beispiel K stellen erstens wie die lokalen Extrem- punkte die „Nahtstellen“ zwischen Kurvenstücken verschiedenen Monotonieverhaltens dar, und zwei- tens sind sie wie lokale Minima die „tiefsten“ Punkte der Kurve. Was sie von einem lokalen Minimum der bisher betrachteten Art unterscheidet, ist das Fehlen der horizontalen Tangente. Ist diese Eigen- schaft aber wirklich für ein lokales Extremum entscheidend? Wir wollen uns mit dieser Frage etwas ge- nauer auseinandersetzen. Nur zu Prüfzw cken – Eigentum de Verlags öbv