Reichel Mathematik 7, Schulbuch

12 Komplexe Zahlen und algebraische Gleichungen 1 Weil jede reelle Lösung x der Gleichung als komplexe Zahl z = x + 0 i aufgefasst werden kann, besitzt jede quadratische Gleichung mit reellen Koeffizienten in G = C stets genau zwei Lösungen x 1 und x 2 (für die wir daher oft auch z 1 und z 2 schreiben) – vorausgesetzt, man berücksichtigt die Vielfachheit der Lösung(en). Im Fall D < 0 , also zweier echt-komplexer Lösungen, gilt – Begründe! – aufgrund der Bauart der Lösungs- formel insbesondere der Satz Satz von den konjugierten Lösungen für quadratische Gøeichungen: Besitzt eine (normierte) quadratische Gøeichung a·x 2 + b·x + c = 0, a, b, c * R , a ≠ 0 eine echt-kompøexe Lösung x 1 , so ist die dazu konjugiert-kompøexe Zahø __ x 1 die zweite Lösung x 2 . Beispiel B Überprüfe, dass x = 3 – i eine Lösung von a x 2 – 6 x + 10 = 0, b 6 x 2 – 36 x + 60 = 0 ist, und ermittøe anschøießend die zweite Lösung! Lösung: a (3 – i) 2 – 6·(3 – i) + 10 = (9 – 6 i + i 2 ) – (18 – 6 i) + 10 = 9 – 6 i – 1 – 18 + 6 i + 10 = 0 w. A. x 1 = 3 – i ist echt-kompøex w x 2 = __ x 1 = 3 + i b Dividiert man die Gøeichung aus b durch 6, so erhäøt man die Gøeichung aus a . Die Gøeichung a ist aøso die normierte Gøeichung zu b und daher besitzen beide Gøeichungen die gøeichen Lösungen. 2. Quadratische Gleichungen stets als Produkt zweier Linearfaktoren darstellen Unter Verwendung der Grundmenge G = C fällt die – für theoretische Überlegungen und das Formulie- ren mathematischer Sätze oft lästige – Unterscheidung dreier Lösungsfälle weg. Ein typisches Beispiel hierfür ist der uns schon aus der 5. Klasse (vgl. Buch 5. Kl. S. 85) geläufige Satz Satzgruppe von VIETA für normierte quadratische Gøeichungen: Sind x 1 und x 2 die Lösungen (= Wurzeøn ) der Gøeichung x 2 + px + q = 0 mit p, q * R , so giøt: 1) ‒p = x 1 + x 2 2) q = x 1 ·x 2 3) x 2 + px + q = (x – x 1 )·(x – x 2 ), dh. jedes quadratische Poøynom x 2 + px + q øässt sich aøs Produkt der beiden Linearfaktoren x – x 1 und x – x 2 anschreiben. Ersichtlich gelten die Beziehungen 1) und 2) zwischen den reellen Koeffizienten p und q und den (mög- licherweise echt-komplexen) Lösungen x 1 und x 2 auch für G = C , bloß hat man eben (möglicherweise) auch mit echt-komplexen Zahlen zu rechnen. Der unter Punkt 3) formulierte Teil der Satzgruppe von VIETA heißt Wurzelsatz von VIETA . Er besagt, dass wir für G = C nicht mehr zwischen reduziblen und irreduziblen Polynomen 2. Grades unterschei- den müssen, ja können. Für G = C sind alle quadratischen Polynome reduzibel, also als Produkt zweier Linearfaktoren darstellbar. Beispiel B (Fortsetzung) Schreibe die Gøeichungen in Produktdarsteøøung! Lösung: Die Lösungen sind (siehe oben) x 1 = 3 – i und x 2 = __ x 1 = 3 + i. Daher giøt nach dem Wurzeøsatz: a x 2 – 6 x + 10 = 0 É (x – (3 – i))·(x – (3 + i)) = 0 b 6 x 2 – 36 x + 60 = 0 É 6·(x 2 – 6 x + 10) = 0 É 6·(x – (3 – i))·(x – (3 + i)) = 0 Bemerkung: Natürlich könnte man bei b zB auch (3 x – (9 – 3 i))·(2 x – (6 + 2 i)) = 0 schreiben; im Allge- meinen ist das aber nicht zweckmäßig. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv