Reichel Mathematik 7, Schulbuch

11 1.2 Quadratische Gleichungen 1 Quadratische Gleichungen 1. Lösungsfälle für G = C kennen Die folgende theoretische Betrachtung von quadratischen Gleichungen a·x 2 + b·x + c = 0 mit a , b , c * R , a ≠ 0 und der Grundmenge G = C (statt wie bisher G = R ) verdeutlicht, worin ein Vorteil der komplexen Zahlen gegenüber den reellen Zahlen liegt. Seit der 5. Klasse (vgl. Buch 5. Kl. S. 81f) kennst du Lösungsformeln für quadratische Gleichungen: a·x 2 + b·x + c = 0 w x 1,2 = ‒b + 9 ______ b 2 – 4ac _________ 2a „Große Lösungsformel“ Wegen a ≠ 0 kann man diese Gleichung stets durch a dividieren und erhält als Ergebnis die so genannte normierte quadratische Gleichung: x 2 + p·x + q = 0 w x 1,2 = ‒ p _ 2 + 9 _____ p 2 __ 4 – q „Kleine Lösungsformel“ Wenn wir den Radikanden (dh. den unter der Wurzel stehenden Ausdruck) mit D bezeichnen, so kön- nen wir (unter der Voraussetzung a , b , c * R bzw. p , q * R ) drei Fälle unterscheiden: D > 0 Die Wurzel aus einer positiven Zahl ist eine positive reelle Zahl. Die Gleichung hat zwei reelle Lösungen. D = 0 Die Wurzel aus 0 ist 0 . Die Glei- chung hat genau eine reelle Lö- sung (man sagt: eine Doppel- lösung). D < 0 Die Wurzel aus einer negativen Zahl ist eine imaginäre Zahl. Die Gleichung besitzt zwei kom- plexe Lösungen. Beispiel a D > 0 x 2 – 4 x + 3 = 0 D = 2 2 – 3 = 1 > 0 x 1 = 1, x 2 = 3 Die zugehörige Funktion y = x 2 – 4 x + 3 besitzt zwei Nuøøsteøøen, dh. zwei Schnittpunkte mit der x-Achse. Fig. 1.3a 0 1 1 y x b D = 0 x 2 – 4 x + 4 = 0 D = 2 2 – 4 = 0 x 1 = x 2 = 2 Die zugehörige Funktion y = x 2 – 4 x + 4 besitzt eine einzige Nuøøsteøøe, dh. einen Schnittpunkt (= Be- rührpunkt) mit der x-Achse. Fig. 1.3b 0 1 1 y x c D < 0 x 2 – 4 x + 5 = 0 D = 2 2 – 5 = ‒1 < 0 x 1 = 2 + i, x 2 = 2 – i Die zugehörige Funktion y = x 2 – 4 x + 5 besitzt keine Nuøøsteøøe, dh. keinen Schnittpunkt mit der x-Achse. Fig. 1.3c 0 1 1 y x Du siehst: Die Zahl D entscheidet, welcher Lösungsfall vorliegt. D = p 2 /4 – q (bzw. D = b 2 – 4ac ) heißt Diskriminante 1 der Gleichung x 2 + px + q = 0 (bzw. ax 2 + bx + c = 0 ). Die Unterscheidung der obigen drei Lösungsfälle mit Hilfe der Diskriminante D ist aber nur für G = R notwendig und sinnvoll! Warum? 1 discriminare (lat.) … unterscheiden 1.2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv