Reichel Mathematik 7, Schulbuch

107 3.3 Diskussion von rationalen Funktionen 3 Man sieht: Die Poøsteøøe (quasi ein Extremum) und der Tiefpunkt T zerøegen den Graphen von f in zwei streng monoton steigende Stücke (]‒ • ; 1[ ± ]3; • [) und in ein streng monoton faøøendes Stück (]1; 3[). Beachte dabei: Die waagrechte Tangente bei x 0 = 0 steht der strengen Monotonie von f nicht entgegen. Begründe! 6) Krümmungsverhaøten: f’’(x) = 6 x ____ (x – 1) 4 x < 0 x = 0 0 < x < 1 x = 1 1 < x f’’(x) < 0 = 0 > 0 = • > 0 f W Poø Man sieht: Der Wendepunkt W zerøegt den Graphen von f in ein negativ gekrümmtes ( ) Stück (]‒ • ; 0[) und in ein (am Poø „unterbrochenes“) positiv gekrümmtes ( ) Stück (]0; • [). 7) Asymptotisches Verhaøten: Im Anschøuss an Buch 6. Kø. S. 252 ermitteøn wir die Gøeichung der asymptotischen Funktion durch Poøynomdivision: x 3 (x – 1) 2 = (x 3 )(x 2 – 2 x + 1) = x + 2 x 3 – 2 x 2 + x 2 x 2 – x 2 x 2 – 4 x + 2 3 x – 2 Rest Dh.: x 3 ____ (x – 1) 2 = x + 2 + 3 x – 2 ____ (x – 1) 2 øim x ¥ • f (x) = øim x ¥ • “ x + 2 + 3 x – 2 ____ (x – 1) 2 § = øim x ¥ • (x + 2) + øim x ¥ • 3 x – 2 ____ (x – 1) 2 Da 3 x – 2 ____ (x – 1) 2 für x ¥ ± • gegen 0 strebt, verhäøt sich f für x ¥ ± • im Wesentøichen so wie die Funktion a: y = x + 2. Die Funktion a ist daher asymptotische Funktion an f. Neben dieser Asymptote gibt es noch die schon in Punkt 1) erwähnte senkrechte Asymptote. Zur besseren Unterscheidung nennt man die durch y = x + 2 beschriebene Asymptote eine schräge Asymptote. 8) Graph: y 1 0 1 a f Trage in der Figur den Tiefpunkt und den Wendepunkt (= Terrassenpunkt, den das obige Programm ebenso wie die schräge Asymptote nicht erkennt) ein! 9) Symmetrie: Die Kurve ist gemäß der Figur nicht symmetrisch. 10) Periodizität: Die Funktion ist gemäß der Figur nicht periodisch. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv