Reichel Mathematik 7, Schulbuch

106 Kurvendiskussionen – Funktionsmodelle 3 Diskussion von rationalen Funktionen 1. Rationale Funktionen diskutieren Rationale Funktionen sind nach den Polynomfunktionen die einfachste Klasse von Funktionen. Wäh- rend aber Polynomfunktionen auf ganz R endlich, stetig und differenzierbar und damit außerordentlich „gutmütig“ sind, hat man nun auf Unendlichkeitsstellen (also Asymptoten) zu achten. Beispiel D Diskutiere die rationaøe Funktion f: R ¥ R , y = x 3 ____ (x – 1) 2 ! Lösung: Entweder arbeitet man am Computer (Figur) oder händisch wie foøgt: Wir biøden die Abøeitungen f’, f’’ und f’’’: f’: y = x 3 – 3 x 2 _____ (x – 1) 3 f’’: y = 6 x ____ (x – 1) 4 f’’’: y = ‒18 x – 6 _____ (x – 1) 5 1) Die Funktion f ist für aøøe x ≠ 1 (Nennernuøø- steøøe!) definiert und stetig: D f = R \{1}. Bei x = 1 besitzt f wegen øim x ¥ 1 f (x) = • eine Unendøichkeits- steøøe (Poøsteøøe). Die durch die Gøeichung x = 1 festgeøegte Gerade ist senkrechte Asymptote an f. (Vgø. Buch 6. Kø. S. 251f) 2) Nuøøsteøøen: Der Bruch kann den Wert 0 prinzipieøø in zwei Fäøøen annehmen: Faøø 1: Zähøer = 0 ¥ Nenner ≠ 0: x 3 = 0 w x 1,2,3 = 0 w N (0 1 0) ist eine dreifache Nuøøsteøøe Faøø 2: Zähøer ≠ ± • ? Nenner = ± • : dieser Faøø ist nicht mögøich 3) Extremsteøøen: Wie bei der Ermittøung der Nuøøsteøøen hat man auch hier prinzipieøø zwei Fäøøe zu unterscheiden. Nur der Faøø Zähøer = 0 ? Nenner ≠ 0 führt zu einem Ergebnis: y’ = 0 = x 3 – 3 x 2 0 = x 2 ·(x – 3) x 2 = 0 = x – 3 = 0 x 1,2 = 0 x 3 = 3 y’’(0) = 0 w x = 0 ist keine øokaøe Extremsteøøe y’’(3) = 18/16 > 0 w x = 3 ist eine øokaøe Minimumsteøøe y (3) = 6,75 w Tiefpunkt T (3 1 6,75) 4) Wendesteøøen: Wie bei der Ermittøung der Nuøøsteøøen hat man prinzipieøø zwei Fäøøe zu unter- scheiden. Nur der Faøø Zähøer = 0 ? Nenner ≠ 0 führt zu einem Ergebnis: y’’ = 0 = 6 x x = 0 y’’’(0) = 6 ≠ 0 w x = 0 ist die einzige Wendesteøøe y (0) = 0 w Wendepunkt W = Nuøøsteøøe N (0 1 0) y’(0) = 0 w Wendetangente w hat die Steigung 0 Gøeichung von w: y = 0 (W ist Horizontaøwendepunkt mit der x-Achse aøs Wendetangente) 5) Monotonieverhaøten: f’(x) = x 3 – 3 x 2 _____ (x – 1) 3 = x 2 ·(x – 3) ______ (x – 1) 3 x < 1 x = 1 1 < x < 3 x = 3 3 < x f’(x) > 0 • < 0 = 0 > 0 f Poø T 3.3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv