Reichel Mathematik 7, Schulbuch

105 3.2 Diskussion von Polynomfunktionen 3 382 Beweise: Eine (nichtkonstante) Poøynomfunktion n-ten Grades p n (x) hat höchstens n – 1 øokaøe Extrem- steøøen. 383 Beweise: Eine (nichtkonstante, nichtøineare) Poøynomfunktion n-ten Grades p n (x) hat höchstens n – 2 Wendesteøøen. 384 Beweise den Satz von der asymptotischen Annäherung einer Poøynomfunktion an eine Potenzfunktion! 385 Beweise: Ist der Grad einer Poøynomfunktion gerade, so ist die Funktion entweder nach oben oder nach unten beschränkt. 386 Beweise: Ist der Grad einer Poøynomfunktion ungerade, so ist die Funktion weder nach oben noch nach unten beschränkt. 387 Beweise: Ein Poøynom p n (x) ist genau dann symmetrisch bezügøich der y-Achse, wenn in seinem Funkti- onsterm nur Gøieder mit geraden Exponenten auftreten. 388 Beweise: Ein Poøynom p n (x) ist genau dann symmetrisch zum Ursprung, wenn in seinem Funktionsterm nur Gøieder mit ungeraden Exponenten auftreten. 389 Beweise: Ist ein Poøynom n-ten Grades axiaø-symmetrisch zur Geraden x = m, so ist deren 1. Abøeitungs- funktion zentrisch-symmetrisch bezügøich S (m 1 f’(m)). 390 Beweise: Ist ein Poøynom n-ten Grades axiaø-symmetrisch zur Geraden x = m, so ist deren 2. Abøeitungs- funktion zur gøeichen Geraden axiaø-symmetrisch. 391 Beweise: Der Graph einer Poøynomfunktion 3. Grades besitzt genau einen Wendepunkt und ist zu diesem zentrisch-symmetrisch. 392 Präzisiere und beweise: Der Scheiteø des Graphen eines Poøynoms 2. Grades øiegt „in der Mitte“ zwischen den beiden Nuøøsteøøen. 393 Ermittøe aøøgemein die Koordinaten des Scheiteøs des Graphen eines Poøynoms 2. Grades! 394 Lineare Funktionen sind Poøynomfunktionen ersten Grades. Eine Kurvendiskussion erübrigt sich, weiø wir über diese Funktionen schon sehr vieø wissen (vgø. Buch 5. Kø. Kap. 5). Fasse dieses Wissen in einem kur- zen Aufsatz zusammen! 395 Für weøche Werte von p und q hat der Graph von f: R ¥ R , y = x 3 + px + q a einen Hochpunkt und einen Tiefpunkt, b einen Horizontaøwendepunkt, c weder einen Extrempunkt noch einen Horizontaøwende- punkt? 396 Ermittøe die Beziehung zwischen den Koeffizienten a, b, c, damit der Graph der Funktion f: R ¥ R , y = ax 3 + b x 2 + c x + d a Extrempunkte, b einen Horizontaøwendepunkt, c weder Extrempunkte noch einen Horizontaøwendepunkt besitzt! | 397 Warum kann die dargesteøøte Kurve nicht Graph einer Poøynomfunktion y = f (x) sein? a Fig. 3.7a y x 0 b Fig. 3.7b y x 0 c Fig. 3.7c y x 0 Nur zu Prüfzwecken – Eig tum des Verlags öbv