Reichel Mathematik 7, Schulbuch

103 3.2 Diskussion von Polynomfunktionen 3 Umkehraufgaben (Modellbildungsaufgaben) Køeinprojekt: Beispiel C Der Finanzminister wiøø das Steuersystem (vgø. Buch. 5. Kø. S. 158f) weiter vereinfachen. Die Be- rechnung soøø in Zukunft über eine „einfache“ Funktion f erfoøgen, die den Steuersatz y = f (x) angibt, der auf ein Einkommen 1 x anzuwenden ist. Einkommen unter 10000 € soøøen nicht, Einkommen zwischen 10000 € und 50000 € soøøen mit einem monoton wachsenden Steuersatz zwischen 0% und 50% besteuert werden, darüber øiegende Einkommen mit 50%. Gib eine passende Funktion an (1 š 10000 € bzw. 100%)! Lösung: Die Vorgaben y (1) = 0, y (5) = 0,5, y’([1; 5]) > 0, y ([5; • [) = 0,5 øassen vieøe „passende“ Funk- tionen zu. Besonders einfach wäre ein øineares Modeøø , gegen das aber ein unschöner „Knick“ bei x = 5 (sowie x = 1) spricht. Wir verwenden daher besser eine quadratische Funktion f: y = ax 2 + bx + c, aøso einen streng mono- ton wachsenden Bogen einer Parabeø. Dabei haben wir noch die Wahø zwischen einem progressiv wachsenden Steuersatz (der Parabeøbo- gen besitzt positiven Drehsinn ) und einem degressiv wachsenden Steuersatz (der Parabeøbogen besitzt negativen Drehsinn wie im TI-92-Screenshot) oder einem gemischten System . Wir wähøen das degressive Modeøø, wobei der Graph seinen Hochpunkt bei x = 5 haben soøø. Insgesamt führt das auf das øineare Gøeichungssystem y (1) = 0 = a·1 2 + b·1 + c y (5) = 0,5 = a·5 2 + b·5 + c y’(5) = 0 = 2a·5 + b mit der Lösung a = ‒1/32, b = 10/32, c = ‒9/32. Unter Beachtung des Definitionsbereiches erhäøt man: f: y = 0 0 ª x < 1 1/32·(‒x 2 + 10x – 9) 1 ª x < 5 0,5 5 ª x || 359 1 Löse Beispieø C für den (ähnøich wie in Fig. 3.6b) progressiv wachsenden Steuersatz! 2 Ersteøøe (und haøte) ein kurzes vergøeichendes Referat über den Unterschied zwischen der progressiven und degressiven Besteuerungsfunktion in Beispieø C! 360 Informiere dich im Internet über den Begriff Føattax und setze ihn mitteøs Funktionsgøeichung und Funktionsgraph um! 361 Kreiere und untersuche weitere Funktionsmodeøøe! Interpretiere sie (in Form eines Kurzreferates)! Lass dich dabei von den foøgenden Skizzen inspirieren! Fig 3.6a x y 0 0,1 1 5 Fig 3.6b x y 0 1 0,64 1 2,6 Fig 3.6c x 0 3 1 0,5 y 362 Ersteøøe (und haøte) ein kurzes vergøeichendes Referat über die Art der Steuerbemessung gemäß Beispieø C sowie den Stufentarif im Exkurs zu Kap. 5 im Band für die 5. Køasse! 1 Gemeint ist hier stets das zu versteuernde Jahreseinkommen, dh. die Steuerbemessungsgrundlage. F 3.6a F 3.6b F 3.6c 155152-103 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv