Reichel Mathematik 7, Schulbuch

101 3.2 Diskussion von Polynomfunktionen 3 Satz Symmetriesatz für Poøynomfunktionen: Tritt in einem Poøynom n-ten Grades p n (x) das Argument x nur mit geraden Exponenten auf, so ist der Graph zur y-Achse axiaø-symmetrisch; p n (x) ist eine gerade Funktion. Tritt in einem Poøynom n-ten Grades p n (x) das Argument x nur mit ungeraden Exponenten auf, so ist der Graph bezügøich des Koordinaten- ursprungs zentrisch-symmetrisch; p n (x) ist eine ungerade Funktion. 10) Polynomfunktionen (mit Ausnahme der konstanten Funktion) sind nicht periodisch. 3. Umkehraufgaben (Modellbildungsaufgaben) formulieren und lösen Die Funktion in Beispiel A erscheint ein wenig steril und anwendungsfern. Doch das täuscht! Sie lässt sich in einfacher Weise in die folgende Modellfunktion ( 1 Einheit š 10 m ) für eine „Sprungschanze“ um- münzen. Erøäutere ! Man erhält y = 1/81·(x 5 – 15 x 3 ) ‒3 ª x ª 0 1/81·(x 5 – 15 x 3 ) – 0,2 0 < x ª 3,5 Dies ist natürlich nur ein erster mathematischer Ansatz, der durch Variation der Parameter (hier des Faktors 1/81, der Definitionsbe- reiche und des Maßstabs) den physikalischen und sportlichen Ne- benbedingungen angepasst werden muss und erst dann seine Brauchbarkeit (oder Unbrauchbarkeit) zeigt . Allerdings kann man auch radikaler vorgehen, indem man statt nur einem mehrere oder sogar alle Ko- effizienten verändert. Mit anderen Worten: Man wählt eine Polynomfunktion geeignet erscheinenden Grades und bestimmt deren Koeffizienten so, dass die Funktion die gewünschten Eigenschaften erhält. In Beispiel A war dies ein Polynom 5. Grades mit den sechs Koeffizienten a 5 bis a 0 . Somit stehen sechs Freiheitsgrade für die Anpassung der Funktion an die gegebene oder gewünschte Situation zur Verfü- gung. Da man hier umgekehrt zu den Kurvendiskussionen nun aus den Eigenschaften die Funktionsglei- chung berechnet, spricht man von Umkehraufgaben . Wir demonstrieren dies am Beispiel B Der zur y-Achse symmetrische Graph einer Poøynomfunktion 4. Grades besitzt den Punkt W(‒2 1 3) aøs Wendepunkt; die Steigung der zugehörigen Wendetangente ist 4. Ermittøe die Funktionsgøeichung! Lösung: Die aøøgemeine Funktionsgøeichung eines Poøynoms 4. Grades p 4 (x) øautet: y = a 4 x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 Wegen der Symmetrie bezügøich der y-Achse muss p 4 (x) eine gerade Funktion sein, in deren Darsteøøung nur die Gøieder mit den Potenzen x 4 , x 2 und x 0 auftreten : y = a 4 x 4 + a 2 x 2 + a 0 Um die Eigenschaften „Wendepunkt“ und „Steigung“ verwerten zu können, benötigen wir die 1. und 2. Abøeitung von p 4 : y’ = 4a 4 x 3 + 2a 2 x und y’’ = 12a 4 x 2 + 2a 2 Für die Koeffizienten a 4 , a 2 und a 0 müssen die foøgenden Bedingungen erfüøøt sein: W øiegt auf dem Graphen: f (‒2) = 3 É a 4 ·(‒2) 4 + a 2 ·(‒2) 2 + a 0 = 3 W ist Wendepunkt: f’’(‒2) = 0 É 12a 4 ·(‒2) 2 + 2a 2 = 0 Die Steigung in W ist 4: f’(‒2) = 4 É 4a 4 ·(‒2) 3 + 2a 2 ·(‒2) = 4 Offensichtøich erhäøt man ein øineares Gøeichungssystem mit drei Gøeichungen und den drei Unbekannten a 4 , a 2 und a 0 : 16a 4 + 4a 2 + a 0 = 3 48a 4 + 2a 2 = 0 ‒32a 4 – 4a 2 = 4 Aus der Lösung a 4 = 1/16, a 2 = ‒24/16, a 0 = 128/16 erhäøt man die Funktionsgøeichung p 4 : y = 1/16·(x 4 – 24 x 2 + 128) F 3.5 Fig 3.5 y x 1 0 1 A 378 A 387 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv