Reichel Mathematik 7, Schulbuch

100 Kurvendiskussionen – Funktionsmodelle 3 2. Eigenschaften der (Klasse der) Polynomfunktionen kennen Versuche aus Beispieø A aøøgemeine Eigenschaften der Poøynomfunktionen herauszuøesen und zu be- gründen! Vergøeiche mit der foøgenden Zusammensteøøung! 1) Polynomfunktionen p n ( x ) entstehen als Summe (Differenz) mehrerer Potenzfunktionen und lassen sich in der Normalform y = a n x n + a n – 1 x n – 1 + … + a 1 x 1 + a 0 x 0 darstellen (vgl. Buch 6. Kl. S. 89). Sie sind stets in ganz R definiert und stetig . 2) Die Ermittlung der Nullstellen führt auf das Lösen algebraischer Gleichungen. Passende exakte Lö- sungsverfahren haben wir in Kap. 1.3 bereits behandelt. Bei komplizierten Gleichungen empfiehlt es sich, Näherungsverfahren wie das binäre Suchen (vgl. Buch 6. Kl. Kap. 7.2) oder das NEWTON’sche Näherungsverfahren anzuwenden. 3) Die Nullstellen der 1. Ableitungsfunktion liefern Stellen, an denen wahrscheinlich Extremstellen lie- gen. Ob dort tatsächlich Extrempunkte liegen, muss mit Hilfe von f’’ ( x 0 ) ≠ 0 überprüft werden. Beach- te jedoch: Bei dieser Vorgangsweise können Extremstellen „übersehen“ werden . 4) Die Nullstellen der 2. Ableitungsfunktion liefern Stellen, an denen wahrscheinlich Wendestellen lie- gen. Ob dort tatsächlich Wendepunkte liegen, muss mit f’’’ ( x 0 ) ≠ 0 überprüft werden. Beachte jedoch: Bei dieser Vorgangsweise können Wendestellen „übersehen“ werden . 5) Die lokalen Extrempunkte sind die „Nahtstellen“ zwischen Kurvenstücken unterschiedlichen Mono- tonieverhaltens. Das Lösen der Ungleichungen f’ ( x ) > 0 bzw. f’ ( x ) < 0 ist daher vielfach entbehrlich. 6) Die Wendepunkte sind die „Nahtstellen“ zwischen Kurvenstücken verschiedenen Krümmungsverhal- tens. Das Lösen der Ungleichungen f’’ ( x ) > 0 bzw. f’’ ( x ) < 0 ist daher vielfach entbehrlich. 7) Für das Verhalten einer Polynomfunktion für x ¥ • bzw. x ¥ ‒ • gilt der Satz Satz von der asymptotischen Annäherung einer Poøynomfunktion an eine Potenzfunktion: Die Potenzfunktion y = a n x n (a n ≠ 0) ist asymptotische Funktion an die Poøynomfunktion y = a n x n + a n – 1 x n – 1 + … + a 0 . 8) Der Graph von f kann natürlich nie ganz gezeichnet werden. Wegen 7) wissen wir aber, wie der Graph „weit draußen“ aussieht, und können die Zeichnung sinnvollerweise daher auf jenes Intervall beschränken, auf dem der Graph von f von der zugehörigen asymptotischen Potenzfunktion „we- sentlich“ abweicht. 1 Insbesondere muss dieses Intervall die lokalen Extrempunkte und Wendepunk- te enthalten. Eine Wertetabelle für „Zwischenpunkte“ (wie sie in der 5. und 6. Klasse verwendet wurde) ist vielfach entbehrlich. 9) Für die axiale bzw. zentrische Symmetrie müssen folgende Bedingungen erfüllt sein: Satz Symmetriebedingungen: Der Graph von f ist genau dann bezügøich der Geraden x = m symmetrisch, wenn es zu jedem Punkt P(x 1 f (x)) genau einen Punkt _ P( _ x 1 f ( _ x)) gibt, sodass giøt: I) m = x + _ x ___ 2 II) f ( _ x) = f (x) Der Graph der Funktion f ist genau dann be- zügøich des Punktes S(m|n) symmetrisch, wenn zu jedem Punkt P(x 1 f (x)) genau ein Punkt _ P( _ x 1 f ( _ x)) existiert, sodass giøt: I) m = x + _ x ___ 2 II) n = f (x) + f ( _ x) ______ 2 Dabei øiegen sowohø P aøs auch _ P auf dem Graphen von f. Für Polynomfunktionen folgt daraus insbesondere (Beweis in Aufg. 389 und 390) der folgende Satz: 1 Das Finden dieses „sinnvollen“ Intervalls ist ein wichtiger Teil der Kurvendiskussion. In den Aufgaben wird dieses Intervall daher – um es nicht zu „verraten“ – im Allgemeinen nicht vorgegeben. A 379 K 4.2 A 380 A 381 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv