Reichel Mathematik 7, Schulbuch

10 Komplexe Zahlen und algebraische Gleichungen 1 30 Berechne (Vereinfache so weit wie mögøich)! a (s + 2· 9 __ 3·i)·(s – 2· 9 __ 3·i) b (2· 9 __ u + v·i)·(2· 9 __ u – v·i) 31 Drücke in der kartesischen Binomiaøform a + bi aus! a z + _ z b z – _ z c ____ z 1 + z 2 d ____ z 1 – z 2 e 1 _ 2 ·(z + _ z) f 1 __ 2 i ·(z – _ z) g 1/ _ z h __ 1/z Beweisen und begründen 32 Beweise, indem du für z 1 = a 1 + b 1 ·i und für z 2 = a 2 + b 2 ·i setzt! a ____ z 1 – z 2 = __ z 1 – __ z 2 b ___ z 1 /z 2 = __ z 1 / __ z 2 33 Zeige: a Wenn z ≠ 0 ist, dann ist auch _ z ≠ 0. b Wenn z = 0 ist, dann ist auch _ z = 0. 34 Beweise: a Das Produkt zweier konjugiert-kompøexer Zahøen ist stets eine reeøøe Zahø. b Die Differenz zweier konjugiert-kompøexer Zahøen ist stets eine imaginäre Zahø. 35 Beweise: Wenn das Produkt zweier kompøexer Zahøen z 1 und z 2 reeøø ist, dann gibt es stets eine reeøøe Zahø r, sodass z 2 = r· __ z 1 ist. 36 Beweise: Wenn das Produkt zweier kompøexer Zahøen nuøø ist, so muss mindestens eine der beiden Zahøen gøeich nuøø sein. 37 Begründe anhand der foøgenden Rechnung, warum die Schreibweise i = 9 __ ‒1 eigentøich unzuøässig ist: ‒1 = i·i = 9 __ ‒1· 9 __ ‒1 = 9 _______ (‒1)·(‒1) = 9 _ 1 = +1 38 Zeige für die angeführte Rechenoperation kompøexer Zahøen aøøgemein, dass die oben angegebene Definition mit der entsprechenden Rechenoperation reeøøer Zahøen verträgøich ist! a Addition b Subtraktion c Muøtipøikation d Division 39 Beweise, dass im Zahøenbereich C die foøgenden Rechenregeøn geøten! Begründe mit Worten, warum diese Regeøn in C genauso wie in R geøten! a z 1 + (z 2 + z 3 ) = (z 1 + z 2 ) + z 3 b z 1 – (z 2 + z 3 ) = z 1 – z 2 – z 3 c z 1 ·(z 2 ·z 3 ) = (z 1 ·z 2 )·z 3 d z 1 ·(z 2 + z 3 ) = z 1 ·z 2 + z 1 ·z 3 40 Wie Aufg. 39. a z + 0 = z b z – 0 = z c z·1 = z d z/1 = z 41 Beweise: z· 1 _ z = 1 (z ≠ 0) 42 Beweise, dass für z 3 ≠ 0 im Zahøenbereich C die foøgenden Rechenregeøn geøten! Begründe mit Worten, warum diese Regeøn in C genauso wie in R geøten! a (z 1 + z 2 )/z 3 = z 1 /z 3 + z 2 /z 3 b (z 1 – z 2 )/z 3 = z 1 /z 3 – z 2 /z 3 43 Der foøgende indirekte Beweis zeigt, dass C nicht so angeordnet werden kann, dass diese Ordnung mit der in R und mit den dort herrschenden Rechenregeøn verträgøich ist! Erøäutere in aøøen Einzeøheiten! Beweis: Wir betrachten die beiden kompøexen Zahøen z 1 = 0 und z 2 = i. Wenn C ordnungsfähig wäre, müsste einer der beiden Fäøøe geøten: i º 0 ! ·i (wegen i º 0 bøeibt das Reøations- zeichen unverändert) i 2 º 0 ‒1 º 0…Widerspruch i < 0 |·i (wegen i < 0 kehrt sich das Reøations- zeichen um) i 2 > 0 ‒1 º 0…Widerspruch In beiden Fäøøen tritt ein Widerspruch auf. Somit muss unsere Annahme faøsch gewesen sein. 155152-010 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv