Reichel Mathematik 6, Schulbuch

84 Potenz- und Wurzelfunktion 2 Beispiel N a Vereinfache 9 __ 54 – 9 __ 216 + 9 __ 24 durch teiøweises Wurzeøziehen! b Vereinfache 1 1/ 9 _ 2, 2 2/ 3 9 _ 5 durch Wurzeøfreimachen des Nenners! Lösung a 9 __ 54 – 9 __ 216 + 9 __ 24 = 9 __ 9·6 – 9 ___ 36·6 + 9 __ 4·6 = 3· 9 _ 6 – 6· 9 _ 6 + 2· 9 _ 6 = ‒ 9 _ 6 b Wir erweitern geeignet 1 1 __ 2 1/2 · 2 1/2 __ 2 1/2 = 2 1/2 ____ 2 1/2 + 1/2 = 9 _ 2 __ 2 1 = 9 _ 2 __ 2 , 2 2 __ 5 1/3 · 5 2/3 __ 5 2/3 = 2·5 2/3 ____ 5 1/3 + 2/3 = 2· 3 9 __ 25 ____ 5 1 = 2 _ 5 · 3 9 __ 25 6. Wurzelfunktionen als Umkehrfunktionen der Potenzfunktionen erkennen Das Studium der Veränderung des Wurzelwertes y in Abhängigkeit vom Radikanden x für einen fest vor- gegebenen Wurzelexponenten n führt uns zu neuen Funktionen  Beispiel O Zeichne die Graphen der Funktionen w 2 : y = 9 _ x, w 3 : y = 3 9 _ x und w 4 : y = 4 9 _ x, R 0 + ¥ R 0 + mit verschiedenen Farben in eine Zeichnung und untersuche ihre Eigenschaften! Lösung Aufsteøøen einer Wertetabeøøe x 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 w 2 0 0,71 1,00 1,22 1,41 1,58 1,73 w 3 0 0,79 1,00 1,14 1,26 1,36 1,44 w 4 0 0,84 1,00 1,11 1,19 1,26 1,32 Jede der drei Funktionen w 2 , w 3 und w 4 hat die Eigenschaften 1) Sämtøiche Funktionswerte sind größer oder gøeich nuøø. 2) 0 ist die einzige Nuøøsteøøe. 3) Die Funktion (ihr Graph) ist streng monoton steigend. 4) Der Graph enthäøt die Punkte (0 1 0) und (1 1 1). 5) Die y-Achse ist Tangente des Graphen in O (0 1 0). Je größer der Wurzelexponent in Beispiel O, desto mehr nähern sich die Funktionsgraphen einem „Grenzgraphen“. Ergänze ihn in der Figur! Wie øautet dessen Funktionsgøeichung? Sie lautet: w • : y = 0 x = 0 y = 1 x > 0 Definition Die Funktion w n : R 0 + ¥ R 0 + mit der Funktionsgøeichung y = n 9 _ x, n * N * heißt Wurzeøfunktion . Bemerkung: Statt w 1  y = 1 9 _ x schreibt man kürzer w 1  y = x . Die Eigenschaften in Beispiel O gelten (mit Ausnahme von Eigen- schaft 5) für n = 1 ) nicht nur für w 2 , w 3 und w 4 , sondern für alle Funktionen w n  R 0 + ¥ R 0 + , y = n 9 _ x , n * N *, was sich bis auf 5) leicht zeigen lässt . Im Folgenden wollen wir den Zusammenhang zwischen der Potenz- funktion p n  y = x n und der Wurzelfunktion w n  y = n 9 _ x näher unter- suchen. Dazu zeichnen wir die Graphen der Funktionen p 3  y = x 3 , x * R 0 + und w 3  y = 3 9 _ x in eine Figur ! Was fäøøt dir auf? Begründe! Die Graphen liegen offensichtlich symmetrisch bezüglich der 1. Mediane y = x . Der Grund ist klar  Die Zuordnungsgleichungen y = x 3 und x = 3 9 _ y beschreiben denselben Zusammenhang; die Funktionsglei- chung der zweiten Funktion entsteht ja durch Wurzelziehen aus der ersten. Vertauschen wir nun in der zweiten Funktionsgleichung x mit y (was notwendig ist, weil ja vereinbarungsgemäß x stets die unab- hängige Variable beschreiben soll), so erhalten wir w 3  y = 3 9 _ x , also die p 3 zugeordnete Wurzelfunktion. Da das Vertauschen der Variablen eine Spiegelung an der 1. Mediane beschreibt, liegen die Graphen von p 3 und w 3 tatsächlich wie behauptet. x y 0 1 1 w 2 w 3 w 4 Fig. 2.4 x y 0 1 1 y = x 3 y = √x 3 A 387 F 2.4 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv