Reichel Mathematik 6, Schulbuch

83 2.2 Potenzen mit rationalen Zahlen als Exponenten 2 Analog findet man die folgenden Rechenregeln 1 : 1) p· r 9 __ a s + q· r 9 __ a s = (p + q)· r 9 __ a s Beim Addieren und Subtrahieren lassen sich nur identische Wurzeln zusammenfassen. ZB: 9 __ 5 – 4 9 __ 5 + 6 9 __ 5 = 3 9 __ 5 2) r 9 __ a· s 9 __ a = rs 9 ___ a s + r r 9 __ a __ s 9 __ a = rs 9 ___ a s – r Das Produkt bzw. der Quotient von Wurzeln mit gleichen Radikanden und verschiedenen Wurzelexponenten lässt sich durch geeignetes Erweitern als eine einzige Wurzel schreiben. ZB: 3 9 __ a· 5 9 __ a = 15 9 __ a 8 oder 4 9 __ a/ 7 9 __ a = 28 9 __ a 3 3) r 9 ___ a·b = r 9 __ a· r 9 __ b Man zieht die Wurzel aus einem Produkt, indem man sie aus den ein- zelnen Faktoren zieht (teilweises oder partielles Wurzelziehen ). ZB: 9 __ 50 = 9 __ 25· 9 __ 2 = 5 9 __ 2 oder 9 __ 3· 9 __ 12 = 9 __ 36 = 6 4) r 9 __ a _ b = r 9 __ a __ r 9 __ b Man zieht die Wurzel aus einem Quotienten, indem man sie getrennt aus dem Zähler und dem Nenner zieht. ZB: 9 __ 9 __ 25 = 9 __ 9 ___ 9 __ 25 = 3 _ 5 oder 3 9 __ 16 ___ 3 9 __ 2 = 3 9 __ 16 __ 2 = 3 9 __ 8 = 2 5) r 9 __ s 9 __ a = s 9 __ r 9 __ a = rs 9 __ a Man zieht die Wurzel aus einer Wurzel, indem man das Produkt der Wurzelexponenten als neuen Wurzelexponenten benützt. ZB: 3 9 ___ 9 __ 27 = 9 ___ 3 9 __ 27 = 9 __ 3 oder 3 9 ___ 5 9 __ a 2 = 15 9 __ a 2 6) n·r 9 ___ a n·s = r 9 __ a s Wurzel- und Potenzexponenten dürfen mit der gleichen ganzen Zahl multipliziert bzw. durch die gleiche ganze Zahl ( ≠ 0 ) dividiert werden. ZB: 20 9 ____ 1024 = 20 9 __ 2 10 = 9 __ 2 oder 8 9 __ a 6 = 4 9 __ a 3 Bemerkung: Aus den Regeln 1) bis 6) folgt, dass die Regeln für das Rechnen mit Potenzen mit ganzzahli- gen Exponenten auch für Potenzen mit rationalen Exponenten gelten. Ob man bei Aufgaben mit Wurzeln die obigen Regeln anwendet oder ob man die Wurzeln in Potenzen mit rationalen Exponenten umwan- delt und mit Bruchexponenten rechnet, bleibt daher jedem selbst überlassen. Man sieht  Wie so oft in der Mathematik muss man nicht alle Formeln auswendig lernen, man sollte sie vielmehr verstehen und so im Bedarfsfall „blitzschnell“ herleiten können. Beispiel M Berechne 3 9 __ 9 x __ 5 9 _ x 1 mit, 2 ohne Bruchexponenten! Lösung: 1 “ x 1/2 __ x 1/5 § 1/3 = x (1/2 – 1/5)·1/3 = x 3/10·1/3 = x 1/10 = 10 9 _ x 2 3 9 __ 10 9 __ x 5 ___ 10 9 __ x 2 = 3 9 ____ 10 9 ___ x 5 – 2 = 10 9 __ 3 9 __ x 3 = 10 9 _ x 5. Wurzeln teilweise ziehen – Nenner von Wurzeln freimachen Zwei häufige Anwendungen des Rechnens mit Potenzen sind: 1) Teilweises (partielles) Wurzelziehen: Hierbei wird der Radikand so geschickt in mindestens zwei Faktoren zerlegt, dass aus zumindest einem der Faktoren die Wurzel gezogen werden kann. 2) Wurzelfreimachen des Nenners: Hierbei wird ein Bruch, dessen Nenner Wurzeln enthält, so ge- schickt erweitert, dass die Wurzeln im Nenner wegfallen. 1 Vereinbarung: In Hinkunft werden zwecks Vermeidung umständlicher Schreibweisen stillschweigend die Radikanden als nichtnegative reelle Zahlen, die Zähler der Exponenten als ganze Zahlen, die Nenner der Exponenten als Zahlen aus der Menge N *, allfällige Nenner als von Null verschieden angenommen – sofern nicht ausdrücklich etwas anderes gesagt wird. + Nur zu Prüfzw cken – Eigentum des Verlags öbv