Reichel Mathematik 6, Schulbuch

82 Potenz- und Wurzelfunktion 2 Durch analoge Überlegungen wie bei der Quadratwurzel, nämlich n 9 __ a· n 9 __ a·…· n 9 __ a = a = a 1 = a (1/n + 1/n + … + 1/n) = a 1/n ·a 1/n ·… a 1/n gelangt man zur Definition a 1/n = n 9 _ a a º 0, n * N * Auf Taschenrechnern ohne Wurzeltaste x 9 _ y kann man so Wurzeln mittels der y x -Taste ziehen. Beispiel K Berechne 5 9 ___ 1024 1 mit, 2 ohne Wurzeøtaste! Lösung: 1 1024 x 9 _ y 5 = Ergebnis: 4 2 5 9 ___ 1024 = 1024 1/5 = 1024 0,2 , aøso 1024 y x 0.2 = bzw. 1024 y x ( 5 1/x ) = Ergebnis: 4 3. Potenzen mit rationalen Exponenten darstellen Aus der Definition der Potenz: n 9 __ a = b É a = b n folgt “ n 9 __ a § n = b n = a und auch n 9 __ b n = n 9 __ a = b , also allgemein: “ n 9 __ a § n = n 9 __ x n = x wobei x * R 0 + dh., Potenzieren und Wurzelziehen (über R 0 + ) heben einander auf. Man sagt: Potenzieren und Wurzelziehen sind zueinander inverse Rechenoperationen (über R 0 + ). Diesen Sachverhalt können wir zB wie folgt ausnützen: 3 9 __ 2 6 = 3 9 ___ 2 2·3 · 3 9 ____ (2 2 ) 3 = 2 2 Offenbar wurde der Potenzexponent 6 durch den Wurzelexponenten 3 geteilt. Allgemein gilt der Satz r 9 __ a s = a s/r wenn s _ r * Z , r * N * Beweis: Laut Definition gilt: r 9 __ a s = b É a s = b r , daher (a s/r ) r = a s/r·r = a s w (a s/r ) r = b r = a s w Behauptung Was ist nun, wenn s _ r * Z ist wie etwa bei 3 9 __ 25? Formal gerechnet erhalten wir 2 5/3 , eine „Schreibfigur“, die vorerst keine Bedeutung hat. Wie bei den Wurzeln kann man fordern , dass die Rechengesetze für Potenzen auch für rationale Exponenten gelten, und dies durch die folgende (einzig sinnvolle!) Definition absichern: 1 Definition a s/r = r 9 __ a s , a * R 0 + , r * N \{0}, s * Z 4. Mit Wurzeln rechnen Beispiel L 1 Leite unter der Annahme, dass die Rechenregeøn auch für rationaøe Exponenten geøten, eine Formeø für das Produkt von Wurzeøn mit gøeichen Radikanden her und 2 beweise sie! 1 Lösung: 1 Herøeitung: r 9 _ a· s 9 _ a = a 1/r ·s 1/s = a 1/r + 1/s = a (s + r)/(r·s) = r·s 9 __ a s + r = r·s 9 __ a r + s 2 Beweis: Wir setzen a = x rs ; dann ist r 9 _ a = r 9 __ x rs = x s und s 9 _ a = s 9 __ x rs = x r . Somit ist r 9 _ a· s 9 _ a = x s ·x r = x s + r . Weiters ist rs 9 __ a s + r = rs 9 ____ (x rs ) s + r = rs 9 ___ x rs(s + r) = rs 9 ____ (x s + r ) rs = x s + r , was zu beweisen war. 1 Beachte den Unterschied zwischen der Herleitung und dem Beweis! Die Herleitung bringt uns auf die Idee, wie die Rechenregel unter Annahme ihrer Übertragbarkeit ausschauen müsste, der Beweis zeigt uns, dass unsere Annahme richtig war. n-mal n-mal n-mal Potenzieren Wurzelziehen x n x Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv