Reichel Mathematik 6, Schulbuch

81 2.2 Potenzen mit rationalen Zahlen als Exponenten 2 Potenzen mit rationalen Zahlen als Exponenten 1. Quadratwurzeln als Potenzen mit dem Exponenten 1 __ 2 erkennen Gib am Taschenrechner die foøgenden Tippfoøgen ein! Was fäøøt dir auf? 1 9 y x 0.5 = 2 16 y x 0.5 = 3 25 y x 0.5 = Du erhältst 3 , 4 und 5 – also die Quadratwurzel aus den Eingabegrößen 9 , 16 und 25 . Offenbar akzeptiert der Taschenrechner auch den nicht-ganzzahligen Exponenten 0,5 und interpretiert ihn als Aufforderung, die Quadratwurzel zu ziehen. Dass diese Interpretation sinnvoll ist, siehst du durch Vergleich des An- fangs mit dem Ende der folgenden „Kette“! Begründe! 9 __ 9· 9 __ 9 = 9 = 9 1 = 9 (0,5 + 0,5) = 9 0,5 ·9 0,5 Der entscheidende Schritt erfolgt beim letzten Gleichheitszeichen. Die bisher nur für ganzzahlige Ex- ponenten gültige Regel über das Produkt von Potenzen mit gleichen Basen wird dazu benützt, um der zunächst „bedeutungslosen Schreibfigur“ 9 0,5 eine Bedeutung zu geben. Diese Überlegungen lassen sich für beliebige Wurzeln verallgemeinern. Wie? 2. Wurzeln als Potenzen, deren Exponenten Stammbrüche sind, erkennen Definition Die n-te Wurzeø aus einer nichtnegativen Zahø a ist jene nichtnegative Zahø b, deren n-te Potenz gøeich a ist: n 9 _ a = b É b n = a wobei a, b * R , a º 0, b º 0 und n * N * Dabei heißt a Radikand, n Wurzeøexponent und b Wurzeø(wert): Wurzeøexponent 9 _____ Radikand = Wurzeø(wert) Die Berechnung von b = n 9 __ a für gegebenes a und n nennt man Wurzelziehen ( Radizieren ) 1 . Beispiel: 5 9 ____ 1024 = 4 , denn 4 5 = 1024 . Ist n 9 __ a für jedes n * N * und für jedes a * R + eindeutig definiert? Die Antwort ist ja. Die Richtigkeit dieser Aussage wird (vgl. die Figuren auf S. 80) anschaulich klar. Durch die Beschränkung auf positive x ist die Potenzfunktion y = x n umkehrbar eindeutig (bijektiv), dh., zu jedem x existiert genau ein x n und umgekehrt, was zu zeigen war. Also gilt der Satz Die Gøeichung x n = a (a * R 0 + , n * N *) hat in R 0 + genau eine Lösung. Bemerkungen: 1) Die Gleichung x 2 = 4 hat in R zwei Lösungen: x 1 = +2 und x 2 = ‒2 . Dennoch ist 9 __ 4 nur die Zahl +2 . Von einer Rechenoperation – wie eben auch Wurzelziehen – erwarten wir stets ein eindeutiges Ergebnis. Andernfalls wäre ja auch die Schreibweise x 1 = + 9 __ a und x 2 = ‒ 9 __ a für die beiden Lösungen der Glei- chung x 2 = a (a > 0) sinnlos! Begründe! 2) Die Gleichung x 3 = ‒8 besitzt genau eine Lösung in R , nämlich ‒2 . Dennoch ist die Schreibweise 3 9 __ ‒8 = ‒2 (streng genommen) unzulässig, weil sie der Voraussetzung a º 0 in der obigen Definition nicht genügt. Und die Definition wurde deshalb nur für a º 0 ausgesprochen, weil die Schreibweise 3 9 __ ‒8 = ‒2 beim Rechnen auf Widersprüche führt . 3 ) Die Gleichung x 2 = ‒4 ist in R unlösbar, weil ja das Quadrat jeder reellen Zahl nicht negativ ist. Da der Radikand negativ ist, ist die Schreibweise 9 __ ‒4 streng genommen 2 sinnlos. 1 radix (lat.) … Wurzel 2 Bei quadratischen Gleichungen schreibt man trotzdem zB x 1,2 = ± 9 __ ‒4 oder x 1,2 = 2 + 9 __ ‒3 usw. 2.2 A 384 Nur z Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv