Reichel Mathematik 6, Schulbuch

76 Potenz- und Wurzelfunktion 2 Beweis: 4 Die Funktion hat nur für x = 0 eine Nullstelle und verläuft sonst oberhalb der x-Achse. Null ist daher der kleinste Funktionswert. 5 Eine Funktion heißt in einem Intervall streng monoton steigend, wenn aus x 1 < x 2 folgt, dass f (x 1 ) < f (x 2 ) ist, was für Potenzen x n und damit auch x 2n mit x > 0 und n * N * gilt. Wegen der Sym- metrie zur y-Achse ist die Potenzfunktion y = x 2n , n * N *, für x < 0 streng monoton fallend. Beispiel I Untersuche das Wachstumsverhaøten der Funktion f: [‒5; 5] w R , y = 0,5 x 2 ! Lösung: Wir ersteøøen eine Wertetabeøøe und berechnen für jedes Intervaøø [x i ; x i + 1 ] den Differenzenquotienten (Buch 5. Kø. S. 132): Δ y __ Δ x = y i + 1 – y i _____ x i + 1 – x i = k k gibt die jeweiøige Steigung der Sekante durch P i (x i 1 y i ) und P i + 1 (x i + 1 1 y i + 1 ) an. Daraus øässt sich der Steigungswinkeø α = arctank berechnen (Buch 5. Kø. S. 192). i x i y i k α 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ‒5 ‒4 ‒3 ‒2 ‒1 0 1 2 3 4 5 12,5 8,0 4,5 2,0 0,5 0,0 0,5 2,0 4,5 8,0 12,5 ‒4,5 ‒3,5 ‒2,5 ‒1,5 ‒0,5 0,5 1,5 2,5 3,5 4,5 77,47° ‒74,05° ‒68,20° ‒56,31° ‒26,57° 26,57° 56,31° 68,20° 74,05° 77,47° Der Graph fäøøt daher zuerst stark, dann schwächer und steigt ab x = 0 immer stärker an. Das in Beispiel I festgestellte Monotonieverhalten gilt für jede Potenz- funktion y = x 2n , n * N * : Sie fällt für x < 0 umso stärker, je kleiner x ist und steigt für x > 0 umso stärker, je größer x ist. Beweis: Um zu zeigen, dass mit größerem x (x > 0) die Funktion stärker ansteigt, betrachten wir die Steigungen der Kurvensekanten aus dem Ursprung. Die Steigung jeder dieser Sekanten entspricht dem jeweiligen Differenzenquotienten Δ y __ Δ x im Intervall [ 0; x i ]: k = y i – 0 ___ x i – 0 = x 2n i __ x i = x 2n – 1 i und dieser Ausdruck wird wegen der oben gezeigten Monotonie für wachsen- des x größer . Der zweite Teil der Behauptung folgt aus der Symmetrie zur y-Achse. Der Differenzenquotient ist der Quotient der Änderung der Funktionswerte y durch die Änderung der Abszissenwerte x . Man nennt ihn daher auch mittlere Änderungsrate . Beispiel J Beim freien Faøø øautet das Zeit-Weg-Gesetz s = g _ 2 t 2 . Berechne die mittøere Änderungsrate des Weges (die mittøere Geschwindigkeit) in den Intervaøøen 1 [0; 1], 2 [0; 2] und 3 [1; 2] für g = 9,81! Lösung: 1 Δ y __ Δ x = s 2 – s 1 ____ t 2 – t 1 = g _ 2 t 2 2 – g _ 2 t 1 2 ______ t 2 – t 1 = g _ 2 · t 2 2 – t 1 2 ____ t 2 – t 1 = g _ 2 (t 2 + t 1 ) = 4,91 2 = 9,81 3 = 14,72 x y 0 2 ‒2 ‒4 ‒6 4 6 2 4 6 8 10 12 14 x x 1 x 2 y Fig. 2.2 F 2.2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv