Reichel Mathematik 6, Schulbuch

75 2.1 Potenzen mit ganzen Zahlen als Exponenten 2 2. Potenzfunktionen und ihre Graphen beschreiben Durch die „Rechenanweisung“ x r wird für festes r * Z jedem 1 x * R genau ein Wert y * R zugewiesen. Mit anderen Worten: y = x r ist die Zuordnungsvorschrift einer „Funktion“ f mit dem Argumentevorrat R und dem Wertevorrat R . Unter Einschränkung auf die Definitionsmenge erhält man die Definition Eine Funktion f: R ¥ R bzw. R \{0} ¥ R mit der Funktionsgøeichung y = x r , r * Z heißt Potenzfunktion . In der 5. Klasse haben wir einige Potenzfunktionen (Buch 5. Kl. Kap. 5) bereits untersucht, zB: y = 1 (= x 0 ) y = x (= x 1 ) y = x 2 y = x 3 y = 1 __ x 2 (= x ‒2 ) y = 1 __ x 3 (= x ‒3 ) Für die Fälle mit negativem Exponenten muss x ≠ 0 , dh. R \{0} ¥ R vorausgesetzt werden. Begründe und vergøeiche mit der obigen Definition! Einen guten Eindruck vom Formenreichtum und den Eigenschaften dieser Kurven gibt die folgende Zusammenstellung der (Graphen der) Potenzfunktionen (Exponenten r von 1 bis 5 sowie von ‒1 bis ‒5 ): Fig. 2.1a x y 0 1 1 y = x Fig. 2.1b x y 0 1 1 y = x 2 Fig. 2.1c x y 0 1 1 y = x 3 Fig. 2.1d x y 0 1 1 y = x 4 Fig. 2.1e x y 0 1 1 y = x 5 Fig. 2.1f x y 0 1 1 y = x -1 = 1 x Fig. 2.1g x y 0 1 1 y = x -2 = 1 x 2 Fig. 2.1h x y 0 1 1 y = x -3 = 1 x 3 Fig. 2.1i x y 0 1 1 y = x -4 = 1 x 4 Fig. 2.1j x y 0 1 1 y = x -5 = 1 x 5 Weøche gemeinsamen Eigenschaften kannst du erkennen? Unterscheide die Fäøøe r * Z + und r * Z – einerseits und die Fäøøe r * Z g und r * Z u andererseits! Greifen wir zB den Fall gerader natürlicher Exponenten, dh. r * N g , heraus: Die zugehörigen Funktions- kurven 1 gehen durch den Ursprung (0 1 0), 2 verlaufen nirgends unterhalb der x-Achse und sind 3 symmetrisch zur y-Achse. Beweis: 1 y = x 2n , n * N * ergibt für x = 0 immer 0 . 2 x 2n = (x 2 ) n ; wegen x 2 º 0 verläuft die Kurve nirgends unterhalb der x-Achse. 3 f (‒x) = (‒x) 2n = ((‒x) 2 ) n = (x 2 ) n = x 2n = f (x) , die Kurve ist symmetrisch zur y-Achse. Ferner 4 haben Potenzfunktionen mit geraden natürlichen Exponenten bei x = 0 ein Minimum und 5 fallen für x < 0 streng monoton und steigen für x > 0 streng monoton (Buch 5. Kl. S. 110f). 1 Wir sehen für einen Moment vom Sonderfall x = 0 bei negativen Exponenten ab. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv