Reichel Mathematik 6, Schulbuch

74 Potenz- und Wurzelfunktion 2 Potenzen mit ganzen Zahlen als Exponenten 1. Rechengesetze begründen In Kap. 2.0 wurde bei der Division von Potenzen mit gleicher Basis eine Fallunterscheidung vorgenom- men; r > s, r = s oder r < s . So berechnet man (vgl. Beispiel D ) etwa 2 5 /2 3 = 2 5 – 3 = 2 2 , aber 2 3 /2 5 = 1/2 5 – 3 = 1/2 2 . Es ist nun viel einfacher, vorerst ohne Fallunterscheidung zu rechnen und erst danach, je nach- dem, ob der Exponent des Ergebnisses > 0 , = 0 oder < 0 ist, eine Fallunterscheidung vorzunehmen. Wir rechnen also: 2 3 __ 2 5 = 2 3 – 5 = 2 ‒2 = 1 __ 2 2 oder auch 2 3 /2 3 = 2 3 – 3 = 2 0 = 1 (da ja immer für Gleiches durch Gleiches der Wert 1 herauskommen muss). Damit unsere Vereinfachun- gen auch formal in Ordnung sind, geben wir die Definition a 0 = 1 für a * R \{0} a ‒n = 1 __ a n für a * R \{0}, n * N * Diese Definition 1 ist für uns nicht neu. In der 5. Klasse setzten wir bereits etwa 10 ‒3 = 0,001 fest. Und das stimmt mit obiger Definition überein, da 10 ‒3 = 1/10 3 = 1/1000 = 0,001 ist. Es lässt sich beweisen, dass unter den Voraussetzungen der obigen Definition die bereits für Expo- nenten r, s * N * als richtig erkannten Rechenregeln für Potenzen auch für r , s * Z gelten: 1) a r ·a s = a r + s 2) (a·b) r = a r ·b r 3) a r __ a s = a r – s mit a ≠ 0 4) “ a _ b § r = a r __ b r mit b ≠ 0 5) (a r ) s = a r·s Wir beweisen die Regel 1): Es ist also zu zeigen, dass a r ·a s = a r + s , a * R \{0} und r , s * Z gilt. Dazu müssen wir jeweils Fallunter- scheidungen für r und s vornehmen. Dabei setzen wir für die Fälle, wo r ≠ 0 und s ≠ 0 sind, † r † = m, † s † = n mit m , n * N * : Fall 1): r, s > 0 w r, s * N * Dieser Fall wurde bereits bewiesen . Fall 2): r > 0, s < 0 w r = m, s = ‒n a r ·a s = a m ·a ‒n = a m · 1 __ a n = a m __ a n = a m – n = a m + (‒n) = a r + s Fall 3): r < 0, s > 0 w r = ‒m, s = n Dieser Fall ist analog zum Fall 2). Fall 4): r, s < 0 w r = ‒m, s = ‒n a r ·a s = a ‒m ·a ‒n = 1 __ a m · 1 __ a n = 1 ____ a m ·a n = 1 ___ a m + n = a ‒(m + n) = a ‒m + (‒n) = a r + s Fall 5): r = 0, s ≠ 0 a r ·a s = a 0 ·a s = 1·a s = a s = a 0 + s = a r + s Fall 6): r ≠ 0, s = 0 Dieser Fall ist analog zum Fall 5). Fall 7): r = 0, s = 0 a r ·a s = a 0 ·a 0 = 1·1 = 1 = a 0 = a 0 + 0 = a r + s Beweise die restøichen Regeøn ! Beispiel H Berechne “ “ ‒2 __ 3 § ‒1 § ‒3 ! Lösung: “ ‒2 __ 3 § (‒1)·(‒3) = “ ‒2 __ 3 § 3 = (‒2) 3 ___ 3 3 = ‒8 __ 27 Bemerkung: Die Berechnung mit Hilfe des üblichen Taschenrechners braucht sicher länger und ist außer- dem nicht exakt . Es kann sogar sein, dass der Taschenrechner mit einer Fehlermeldung reagiert oder ein falsches Ergebnis liefert. Woran das liegt, werden wir in Kap. 6 untersuchen. 1 Obwohl viele Taschenrechner für 0 0 den Wert 1 liefern, ist dieser Ausdruck nach den Konventionen der Mathematik ein unbestimmter Ausdruck . Er fehlt daher in der Definition, obwohl die Definition 0 0 = 1 vielfach sinnvoll ist. 2.1 S 69 K 2.0.3 A 317 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv