Reichel Mathematik 6, Schulbuch

69 2.0 Wiederholung: Potenzen mit natürlichen Zahlen als Exponenten 2 2. Potenzen addieren und subtrahieren Potenzen können dann und nur dann formelmäßig addiert oder subtrahiert werden, wenn sie sowohl in ihren Basen als auch in ihren Exponenten übereinstimmen. Man rechnet dann mit den Koeffizienten . So kann etwa in Beispiel C weder die Summe 3a 2 + b 2 noch die Differenz 3a 2 – a vereinfacht werden! Beispiel C Berechne 8a 2 + 2b 2 – (5a 2 + b 2 + a)! Lösung: 8a 2 + 2b 2 – (5a 2 + b 2 + a) = 8a 2 + 2b 2 – 5a 2 – b 2 – a = 8a 2 – 5a 2 + 2b 2 – b 2 – a = 3a 2 + b 2 – a 3. Potenzen mit gleicher Basis (und verschiedenen Exponenten) multiplizieren a 3 ·a 4 = (a·a·a)·(a·a·a·a) = a·a·a·a·a·a·a = a 7 allgemein: a r ·a s = (a·a·…·a)·(a·a·…·a) = a·a·…·a = a r + s Satz Potenzen mit gøeicher Basis werden muøtipøiziert , indem man die Basis mit der Summe der Exponenten potenziert, dh.: a r ·a s = a r + s , wobei a * R und r, s * N * Bemerkung: Die verbale Fassung des obigen Satzes und der folgenden Sätze gilt (zunächst) nur für r , s * N * . Es wird Aufgabe der nächsten Abschnitte sein, diese Beschränkung schrittweise bis hin zu Exponenten r , s * R zu verallgemeinern. 4. Potenzen mit gleicher Basis (und verschiedenen Exponenten) dividieren Beispiel D Berechne a a 5 a 3 , b a 3 a 3 , c aa 3 , wobei a ≠ 0 ist! Lösung: a a 5 a 3 = a · a · a · a · a _______ a·a · a = a 2 b a 3 a 3 = a · a · a ____ a · a · a = 1 c aa 3 = a ____ a · a · a = 1 __ a 2 Beachte: 5 – 3 = 2 Beachte: 3 – 3 = 0 (a 0 = 1 ) Beachte: 3 – 1 = 2 Gemäß Beispiel D müssen hier drei Fälle unterschieden werden: Satz Potenzen mit gøeicher Basis werden dividiert , indem man die Basis mit der Differenz der Exponenten potenziert, wobei foøgende Faøøunterscheidungen vorgenommen werden: a r __ a s = a r – s für r > s 1 für r = s 1 ___ a s – r für r < s, wobei a * R \{0} und r, s * N * Beweise diesen Satz ! Warum wurde der Faøø a = 0 ausgeschøossen? Weil man sonst zu einer Division durch 0 gelangt, die ja unsinnig ist. Beispiel B (Fortsetzung) Schätze das Ergebnis mitteøs einer Überschøagsrechnung ab! Lösung: Überschøagsrechnung (wenn mögøich im Kopf): 400 Tage zu je 25 Stunden zu je 4000 Sekunden = 10 4 ·4000 = 4·10 7 10 12 ____ 4 · 10 7 = 100 · 10 10 _____ 4 · 10 7 = 25·10 3 = 25000 = 2,5·10 4 r-mal s-mal (r + s)-mal S 74 A 279 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des V rlags öbv