Reichel Mathematik 6, Schulbuch

4 Räumliche Koordinatengeometrie In diesem Kapitel wirst du dein Wissen aus der ebenen Geometrie auf die räumliche Geometrie übertragen und erweitern, • Punkte, Geraden und Ebenen graphisch darstellen, • geometrische Objekte mit Hilfe von Vektoren und Gleichungen beschreiben, • ihre gegenseitige Lage rechnerisch untersuchen, • den Abstand zweier Punkte, den Schnittpunkt und Schnittwinkel zweier Geraden, den Abstand • eines Punktes von einer Geraden, den Abstand zweier einander kreuzender Geraden, die Schnitt- gerade und den Schnittwinkel zweier Ebenen, den Schnittpunkt dreier Ebenen, usw. rechnerisch (und teilweise konstruktiv) ermitteln und auf geometrische Probleme anwenden, lineare Gleichungssysteme geometrisch deuten und lösen. • Wiederholung, Vorübungen und Vorschau Im Folgenden wollen wir das erfolgreiche Konzept des Rechnens mit Punkten, Pfeilen und Vektoren von der zweidimensionalen Zeichenebene (xy-Ebene) auf den dreidimensionalen Raum übertragen. Wegen der weitgehenden Anaøogie kannst und soøøst du versuchen, diese Übertragung von Kap. 8 in der 5. Køasse – eventueøø in Partner- oder Gruppenarbeit – aøs „innermathematisches Projekt“ durchzuführen. 1. Das räumliche kartesische Koordinatensystem kennen Gemäß Fig. 1.1 lässt sich das ebene (zweidimensionale) kartesische Koordinatensystem durch Hinzunahme der z-Achse zu einem räumli- chen (dreidimensionalen) kartesischen Koordinatensystem erweitern. Die z-Achse steht dabei sowohl zur x-Achse als auch zur y-Achse or- thogonal und trägt die gleiche Maßeinteilung (Skalierung) wie diese. Jeder Punkt P des Raumes wird nun durch drei Zahlen – genauer: durch ein geordnetes Zahlentripel in Zeilenform 1 oder Spaltenform dargestellt. P = (x P 1 y P 1 z P ) P = “ x P y P z P § Die Zahlen x P , y P , z P heißen kartesische Punktkoordinaten 2 . Geometrisch lassen sie sich als die orien- tierten dh. mit Vorzeichen behafteten Seitenlängen des zu P gehörigen Koordinatenquaders deuten; er ist in einem Schrägriss anschaulich dargestellt . 2. Räumliche Objekte im (Standard-)Schrägriss darstellen Zum Zeichnen eines Schrägrisses eines Objektes genügt es oft, die Koordinaten einzelner (Eck-)Punkte (mittels der zugehörigen Koordinatenquader) aufzutragen. Um dabei (mit dem Lösungsheft) leicht ver- gleichbare Bilder zu erhalten, benützen wir eine – schon in Fig. 1.1 verwendete – Standarddarstellung 3 , welche den Raster des karierten Papiers in besonderer Weise nützt. Erøäutere , wie der Schrägriss P s des Punktes P (2 1 3 1 5) ermitteøt wurde! 4 Beachte, dass Schrägrissskizzen Längen und Winkel im Allgemeinen verzerrt darstellen; dabei kann der in der Zeichnung direkt „gemessene“ Wert gleich, größer oder auch kleiner sein als die wahre Größe. Prüfe dies zB anhand der rechten Winkeø im Koordinatenquader nach! 1 Der üblichen Schreibweise folgend werden wir Punkte in Zeilenform meist ohne „=“ anschreiben. 2 Wenn es die Deutlichkeit nicht verlangt, wird der Index (hier „ p “) aus Bequemlichkeit oft weggelassen. 3 Kavalierriss: Verkürzungswinkel α = 45° , Verkürzungsfaktor v = 1/ 9 __ 2 . Einheitenraster siehe Fig. 1.1! 4 Obwohl zwischen dem Raumpunkt P selbst und seinem Schrägrissbild P s stets zu unterscheiden ist, wollen wir zwecks Vereinfachung immer dann, wenn keine Verwechslungsgefahr besteht, auf den Risszeiger „ s “ verzichten. 1.0 Fig. 1.1 z P y P x P P x y z 0 1 1 2 F 1.1 F 1.1 F 1.1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv