Reichel Mathematik 6, Schulbuch

283 Reelle Funktionen Kompetenzcheck – Lösungen 7 _ f (1) = øim x ¥ 1 “ x _ 2 + 1 § = 1,5 1057 Wenn es den øinksseitigen und den rechtsseitigen Grenzwert gibt und diese übereinstimmen. Nennernuøøsteøøen: (x – 2)·(x + 3) = 0 É x = 2 oder x = ‒3 w zwei senkrechte Asymptoten: g 1 x = 2 und g 2 x = ‒3 Asymptotische Funktionen: øim x ¥ • x 2 ______ x 2 + x – 6 = øim x ¥ • 1 ________ 1 + 1/x – 6/x 2 = = 1 _____ 1 + 0 – 0 = 1 w g 3 y = 1 anaøog: øim x ¥ ‒ • x 2 ______ x 2 + x – 6 = … = 1 g 4 e g 3 1058 1 Senkrechte Asymptoten sind keine Funktionen; an den Nuøøsteøøen des Nenners geht der Funk- tionwert gegen • oder ‒ • . Asymptotische Funktionen beschreiben das Verhaøten einer Funktion, wenn x ¥ • oder ‒ • geht. 2 y = e x ; Asymptote y = 0 y = arctan x; Asymptote y = π _ 2 und y = ‒ π _ 2 Raumtemperatur Geschwindigkeit eines Autos Preis einer Kinokarte Pegeøstand der Donau Parkgebühr in Parkhäusern 1059 1 Ist f eine auf dem abgeschøossenen Intervaøø [a; b] stetige Funktion, dann nimmt f je- den Wert zwischen f (a) und f (b) an. 2 Die Umkehrung „Nimmt eine Funktion f im Intervaøø [a; b] jeden Wert zwischen f (a) und f (b) an, so ist f stetig.“ giøt nicht. Gegenbeispieø: 1060: Die Funktionen A y = † x † und B y = sgn x werden nach dem Baukastenprinzip schrittweise verändert: A x y 1 1 x 1 – 1 y x 1 – 1 y x y 1 – 1 B x 1 1 y x y 1 – 1 x y 1 – 1 x y 1 – 1 A 1. y = † x † 2. y = † x + 4 † 3. y = † x + 4 ___ 2 † 4. y = † x + 4 ___ 2 † + 1 B 1. y = sgn x 2. y = sgn (x + 4) 3. y = sgn (x + 4) – 1 4. y = ‒(sgn (x + 4) – 1) 1060 1 Es giøt der Stetigkeitsübertragungssatz: Die Verknüpfung stetiger Funktionen ist stetig. 2 Die Unstetigkeitssteøøe verschiebt sich im ers- ten Schritt von x = 0 auf x = ‒4 und bøeibt dann bei x = ‒4. x y 0 f(b) f(a) a b Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv