Reichel Mathematik 6, Schulbuch

278 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Kompetenzcheck – Lösungen 5 1 P (A 1 B) = 0,79· 0,38 ___ 0,4 = 0,75 2 P (A 1 B’) = 0,21· 0,38 ___ 0,6 = 0,133 3 P (A’ 1 B) = 0,16· 0,62 ___ 0,4 = 0,25 4 P (A’ 1 B’) = 0,84· 0,62 ___ 0,6 = 0,867 834 1 P (A ? B) = P (B ? A) P (A)· P (B 1 A) = P (B)· P (A 1 B) P (B 1 A) = P(B)· P(A 1 B) ________ P(A) … Satz von BAYES 2 P (A 1 B) + P (A’ 1 B) = 1 und P (A 1 B’) + P (A’ 1 B’) = 1 835: Gegeben waren die Ereignisse: A: Person ist erkrankt mit P(A) = 0,005 B: Ein medizinischer Test ergibt, dass die Person krank ist. Es giøt P (B 1 A) = 0,8 und P(B ’ 1 A ’ ) = 0,9 1 A ( 50 ) B ( 40 ) B' ( 10 ) B ( 995 ) 10000 A' ( 9950 ) B' ( 8955 ) 0,004 0,001 0,0995 0,8955 0,005 0,8 0,2 0,1 0,9 0,995 2 3 Unter 10000 Personen werden vom Test 995 Personen aøs krank bezeichnet, obwohø sie ge- sund sind, 40 Personen werden korrekter- weise aøs krank erkannt. 8955 aøs gesund getestete Personen sind wirkøich gesund. 10 aøs gesund getestete Personen sind in Wirkøichkeit krank. 835 1 A A’ B 0,004 0,0995 B’ 0,001 0,8955 2 P = 40 _____ 40 + 995 ·100 ≈ 3,86% P (A 1 B) = 0,004/(0,004 + 0,0995) = 0,0386 3 P (A’ 1 B) = 1 – P (A 1 B) ≈ 1 – 0,0386 ≈ 96,14% “ 150 146 § = 150! _____ 146!·4! = 150·149·148·147 __________ 4·3·2·1 = 20260275 836 “ n + 2 n – 1 § = (n + 2)! _______________ ((n + 2) – (n – 1))!·(n – 1)! = = (n + 2)·(n + 1)·n·(n – 1)! ______________ 3!·(n – 1)! = (n + 2)·(n + 1)·n __________ 6 1 71!·9! ____ 8!·69! = 71·70·69!·9·8! _________ 8!·69! = 71·70·9 = 44730 2 100! – 96! ______ 95!·4! = 96!·(100·99·98·97 – 1) ______________ 95!·4! = = 96·95!·94109399 __________ 95!·24 = 376437596 837 1 (n + 1)!·3! ______ (n – 1)!·4! = (n + 1)·n·(n – 1)!·3! ____________ (n – 1)!·4·3! = (n + 1)·n ______ 4 2 (2n + 1)! – 2n·(2n – 1)! _____________ (n + 1)! – n·(n – 1)! = (2n – 1)!·((2n + 1)·2n – 2n) ________________ (n – 1)!·((n + 1)·n – n) = = (2n – 1)!·4n 2 ________ (n – 1)!·n 2 = 4·(2n – 1)! _______ (n – 1)! Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv