Reichel Mathematik 6, Schulbuch

275 Folgen und Grenzprozesse Kompetenzcheck – Lösungen 4 x 1 = 3; x 2 = 1 _ 2 · “ 3 + 10 __ 3 § = 3,1 _ 6; x 3 = 1 _ 2 · “ 3,1 _ 6 + 10 ___ 3,16 § ≈ 3,1623 712 Eine Foøge ist eine Funktion mit der Definitions- menge N oder N *. 1 s • = 1,2· 1 ____ 1 – 0,6 = 1,2· 1 __ 0,4 = 3 2 s • = 4· 1 ___ 1 + 1 _ 4 = 3,2 3 für † 3 _ a † < 1 É † a † > 3: s • = 1· 1 ___ 1 + 3 _ a = a ___ a + 3 713 Unendøiche geometrische Reihen heißen konvergent, wenn sie eine endøiche Summe besitzen. Sonst heißen sie divergent . Eine unendøiche geometrische Reihe ist genau dann konvergent, wenn † q † < 1 ist. 1 1 ___ 1 – x = 1 + x + x 2 + x 3 + … 2 5 ____ 2a 2 – 1 = ‒5· 1 ____ 1 – 2a 2 = = ‒5·(1 + 2a 2 + 4a 4 + 8a 6 + …) 714 1 † x † < 1 2 † 2a 2 † < 1 É † a † < 9 __ 2 __ 2 Äußeres Dreieck: Seitenøänge a 1 , Höhe h 1 = a 1 __ 2 · 9 __ 3; Inkreisradius r 1 = h 1 __ 3 = a 1 __ 6 · 9 __ 3; 2. Dreieck: h 2 = r 1 ·1,5 = a 1 __ 4 · 9 __ 3 q = h 2 __ h 1 = 1 _ 2 Die Höhen biøden eine geometrische Foøge mit q = 1 _ 2 , daher auch die Seiten und Umfänge w u • = 3a 1 · 1 ____ 1 – 1/2 = 6a 1 715 1 Durch Quadrieren. 2 A 1 = a 1 2 __ 4 · 9 __ 3, q’ = q 2 = 1 _ 4 A • = A 1 · 1 ____ 1 – q’ = a 1 2 __ 4 · 9 __ 3· 1 ___ 1 – 1 _ 4 = = a 1 2 __ 4 · 9 __ 3· 4 _ 3 = a 1 2 · 9 __ 3 __ 3 øim n ¥ • 2 ___ 3 + n = øim n ¥ • 2 __ n ____ 3 __ n + 1 = 0 ___ 0 + 1 = 0 716 Eine Foøge heißt Nuøøfoøge, wenn Å ε > 0: Æ n 0 sodass giøt: Wenn n > n 0 dann † x n – 0 † < ε † x n † = † 2 ___ 3 + n † = 2 ___ 3 + n < 1 ___ 100 (3 + n)· 1 ___ 100 > 2 w n > 197 717 Aøøe bis auf endøich vieøe 1 øim n ¥ • 5n ____ 3n – 1 = øim n ¥ • 5 ____ 3 – 1 __ n = 5 ___ 3 – 0 = 5 _ 3 2 øim n ¥ • 2n 2 ____ 7n 3 + 1 = øim n ¥ • 2 __ n ____ 7 + 1 __ n 3 = 0 ___ 7 + 0 = 0 3 øim n ¥ • 2n 4 ____ 3n 2 – 1 = øim n ¥ • 2n 2 ____ 3 – 1 __ n 2 = • 718 1 Eine monoton wachsende , nach oben beschränkte Foøge ist konvergent. 2 Eine monoton faøøende , nach unten beschränkte Foøge ist konvergent. 3 0 1 1 n x n 0 1 1 n x n Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv