Reichel Mathematik 6, Schulbuch

274 Folgen und Grenzprozesse Kompetenzcheck – Lösungen 4 707‒708: Eine Foøge war durch das Biødungsgesetz k x n l = k n + 2 ____ 1 – 3n l festgeøegt. k ‒ 3 _ 2 ; ‒ 4 _ 5 ; ‒ 5 _ 8 ; ‒ 6 __ 11 ; ‒ 7 __ 14 l , streng monoton wachsend 707 Wir zeigen, dass x n + 1 > x n : (n + 1) + 2 _______ 1 – 3·(n + 1) > n + 2 ____ 1 – 3n É n + 3 _____ ‒2 – 3n > n + 2 ____ 1 – 3n É (n + 3)·(1 – 3n) > (n + 2)·(‒2 – 3n) É ‒3n 2 – 8n + 3 > ‒3n 2 – 8n – 4, w.A. Å n * N øim n ¥ • n + 2 ____ 1 – 3n = øim n ¥ • 1 + 2/n ____ 1/n – 3 = ‒ 1 _ 3 708 Wir zeigen, dass ‒1/3 º x n : ‒ 1 _ 3 º n + 2 ____ 1 – 3n É ‒1·(1 – 3n) ª 3·(n + 2) É ‒1 + 3n ª 3n + 6, w.A. Å n * N 709: Foøgende Terme beschreiben Wachstums- und Abnahmeprozesse: (Ausgangsmenge y 0 , y (2): Menge nach t = 2 Jahren) I y (2) = y 0 · 1,05 2 II y (2) = y 0 ·( 1/2) 2 _ 5 III y (2) = y 0 · 2 2 _ 5 IV y (2) = y 0 · 0,95 2 V y (2) = y 0 + 2 · 5 VI y (2) = y 0 – 2 · 5 A II B V C I D III E IV F VI 709 1 y (t) = y 0 · “ 1 + p ___ 100 § t 2 y (t) = y 0 · “ 1 – p ___ 100 § t 3 y (t) = k + d·t 710: Aufzinsungstabeøøe bei einfacher Verzinsung: Laufzeit 0 Jahre 1 Jahre 2 Jahre 3 Jahre 4 Jahre 5 Jahre 6a 2m 3t Kapital 100 ¤ 105 ¤ 110 ¤ 115 ¤ 120 ¤ 125 ¤ 130,88 ¤ Aufzinsungstabeøøe bei theoretischer Verzinsung: Laufzeit 0 Jahre 1 Jahre 2 Jahre 3 Jahre 4 Jahre 5 Jahre 6a 2m 3t Kapital 100 ¤ 105 ¤ 110,25 ¤ 115,76 ¤ 121,55 ¤ 127,63 ¤ 135,16 ¤ 1 Jährøicher Zuwachs um 5 ¤ . 2 Jährøiche Aufzinsung mit dem Faktor 1,05. Ergebnisse siehe Tabeøøe. 710 1 K(t) = K 0 · “ 1 + p ___ 100 · “ n + m __ 12 + t ___ 360 § § 2 K(t) = K 0 · “ 1 + p ___ 100 § “ n + m __ 12 + t ___ 360 § 711: Gegeben waren die foøgenden Wertetabeøøen: A x 0 5 15 21 y 2 12 32 44 B x 0 5 15 21 y 9 22,4 138,7 414,0 C x 0 5 15 21 y 10 10 11 14 A øineares Wachstum Wachstumsrate +2 B exponentieøøes Wachstum Wachstumsfaktor 1,2 C kein øineares oder exponentieøøes Wachstum 711 A y = 2 + 2 x B y = 9·1,2 x C keine Funktionsgøeichung vom Typ einer øinearen Funktion oder Exponentiaøfunktion mögøich Nur zu Prüfzwecken – Eig ntum des Verlags öbv